一元一次方程教案匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇一元一次方程教案范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

1、進一步經歷運用方程解決實際問題的過程。

2、提高學生找等量關系列方程的能力。

3、培養學生的抽象、概括、分析和解決問題的能力。

4、學會用數學的眼光去看待、分析現實生活中的情景。

重點：

1.如何從實際問題中尋找等量關系建立方程，解決問題后如何驗證它的合理性.

2.解決打折銷售中的有關利潤、成本價、賣價之間的相關的現實問題。

難點：

如何從實際問題中尋找等量關系建立方程.

學習指導：

一、知識準備

1.通過社會調查，親歷打折銷售這一現實情境，了解打折銷售中的成本價、賣價和利潤之間的關系。進而能根據現實情境提出數學問題。

2.談一談：

請舉例說明打折、利潤、利潤率、提價及削價的含義分別是什么？

3.算一算：

（1）原價100元的商品，打8折后價格為元；

（2）原價100元的商品，提價40%后的價格為元；

（3）進價100元的商品，以150元賣出，利潤是元。

二、學習新課

一、思考：

1、把下面的“折扣”數改寫成百分數。九折八八折七五折

2、你是怎樣理解某種商品打“八折”出售的？

二、問題：1、說說“打折銷售”中自己有過的親身經歷。

2、假設你是一個商店老板，你的追求是什么？

3、你是怎樣理解商品的利潤？

三、新知探討

1、你認為商品的標價、折數與商品的賣價之間有怎樣的關系？

2、結合實際，說說你從打折銷售中可以獲得哪些數學問題？

（1）某商店出售一種錄音機，原價430元，現在打九折出售，比原價便宜多少錢？

（2）一種畫冊原價每本16元，現在按每本11.2元出售。這種畫冊按原價打了幾折？

（3）、為慶祝“六一兒童節”，某書店所有兒童讀物一律八折優惠，小明花了24元買了一套讀物，請問這套讀物原價是多少？

（4）一家商店將某種服裝按成本價提高40%后賣出，已知每件服裝的成本價是125元，每件服裝獲利多少？

2、例題：一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折優惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？

如果設每件服裝的成本價為x元，根據題意，

（1）每件服裝的標價為：（）

（2）每件服裝的實際售價為：（）

（3）每件服裝的利潤為：（）

篇（2）

教學分析

重點：含字母系數的一元一次方程的解法。

難點：含字母系數的一元一次方程的解法。

教學過程

一、復習

1．什么叫方程？什么叫方程的解？什么叫解方程？

2．試述一元一次方程的意義及解一元一次方程的步驟。

3．什么叫分式？分式有意義的條件是什么？

二、新授

1．含有字母系數的一元一次方程

引例：一數的a倍（a≠0）等于b，求這個數。

用x表示這個數，根據題意，可得方程

ax=b（a≠0）

在這個方程中，x是未知數，a和b是用字母表示的已知數。對x來說，字母a是x的系數，b是常數項。這個方程就是一個含有字母系數的一元一次方程。

含有字母系數的方程的解法與以前學過的只含有數字系數的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。

例如：解方程5x+6=3x+10與解方程ax+b=cx+d。

解：移項，5x-3x=10-6，ax-cx=d-b，

合并同類項，2x=4，（a-c）x=d-b，

x=2。當a-c≠0時，

x=.

可以看出，上述兩個方程的解法及其步驟基本相同。只是最后一步，從2x=4與（a-c）x=d-b中求出x不同，其中2≠0是很明顯的，所以得x=2。而a-c必須指明a-c≠0時x=.

例1解方程ax+b2=bx+a2（a≠0）.

解：移項，得ax-bx=a2-b2，

合并同類項，得（a-b）x=a2-b2。

因為a≠b，所以a-b≠0，方程兩邊同除以a-b，得

x=，x=a+b.

注意：方程的解是分式時，一般要化成最簡分式或整式。

例2解方程。

解：去分母，得b（x-b）=2ab-a（x-a），

去括號，得bx-b2=2ab-ax+a2，

移項，得ax+bx=a2+2ab+b2，

分解因式，得（a+b）x=（a+b）2。

a+b≠0，x=a+b。

三、練習

練習：P90中練習1，2，3，4。

四、小結

本課內容：含有字母系數的一元一次方程的解法。

五、作業

作業：P93中習題9.5A組7，8，9。

篇（3）

（一）知識教學點：1．正確理解因式分解法的實質．2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力訓練點：通過新方法的學習，培養學生分析問題解決問題的能力及探索精神．

（三）德育滲透點：通過因式分解法的學習使學生樹立轉化的思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教學疑點：理解“充要條件”、“或”、“且”的含義．

三、教學步驟

（一）明確目標

學習了公式法，便可以解所有的一元二次方程．對于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果轉化為一般形式，利用公式法就比較麻煩，如果轉化為x－2＝0或x＋3＝0，解起來就變得簡單多了．即可得x1＝2，x2＝-3．這種解一元二次方程的方法就是本節課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整體感知

所謂因式分解，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，這樣就將原來的一元二次方程轉化為一元一次方程，方程便易于求解．可以說二次三項式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關鍵．“如果兩個因式的積等于零，那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據．方程的左邊易于分解，而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件．滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

1．復習提問

零，那么這兩個因式至少有一個等于零．反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．

“或”有下列三層含義

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

教師提問、板書，學生回答．

分析步驟（一）第一步變形的方法是“因式分解”，第二步變形的理論根據是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零”．分析步驟（二）對于一元二次方程，一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次式時，可以得到兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步實現了由二次向一次的“轉化”，達到了“降次”的目的，解高次方程常用轉化的思想方法．

例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：原方程可變形為（x＋5）（x-3）＝0．

得，x＋5＝0或x-3＝0．

x1＝-5，x2＝3．

教師板演，學生回答，總結因式分解的步驟：（一）方程化為一般形式；（二）方程左邊因式分解；（三）至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；（四）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

練習：P．22中1、2．

第一題學生口答，第二題學生筆答，板演．

體會步驟及每一步的依據．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．

x-2＝0或3-x＝0．

x1＝2，x2＝3．

教師板演，學生回答．

此方程不需去括號將方程變成一般形式．對于總結的步驟要具體情況具體分析．

練習P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.

解：原式可變形為（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：（5x-4）（x＋8）=0．

5x-4＝0或x＋8＝0．

學生練習、板演、評價．教師引導，強化．

練習：解下列關于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

學生練習、板演．教師強化，引導，訓練其運算的速度．

練習P．22中4．

（四）總結、擴展

1．因式分解法的條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零．”

四、布置作業

教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（學有余力的學生做）．

2．因式分解法解一元二次方程的步驟是：

（1）化方程為一般形式；

（2）將方程左邊因式分解；

（3）至少有一個因式為零，得到兩個一元二次方程；

（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具體情況具體分析．

3．因式分解的方法，突出了轉化的思想方法，鮮明地顯示了“二次”轉化為“一次”的過程．

五、板書設計

12．2用因式分解法解一元二次方程（一）

例1．……例2……

二、因式分解法的步驟

（1）……練習：……

（2）…………

（3）……

（4）……

但要具體情況具體分析

六、作業參考答案

教材P．21中A1

（1）x1=-6，x2=-1

（2）x1=6，x2=-1

（3）y1=15，y2=2

（4）y1=12，y2=-5

（5）x1=1，x2=-11，

（6）x1=-2，x2=14

教材P．21中A2略

（1）解：原式可變為：（5mx-7）（mx-2）＝0

5mx-7=0或mx-b＝0

又m≠0

（2）解：原式可變形為

（2ax＋3b）（5ax-b）＝0

2ax＋3b＝0

或5ax-b＝0

a≠0

教材P．23中B

1．解：（1）由y的值等于0

得x2-2x-3=0

變形為（x-3）（x＋1）＝0

x-3＝0或x+1=0

x1＝3，x2=-1

（2）由y的值等于-4

得x2-2x-3=-4

方程變形為x2-2x＋1=0

（x-1）2=0

解得x1=x2=1

當x=3或x＝-1時，y的值為0

當x=1時，y的值等于-4

教材P．23中B2

證明：x2-7xy＋12y2＝0

篇（4）

（二）能力訓練點：培養學生準確而簡潔的計算能力及抽象概括能力．

（三）德育滲透點：通過兩邊同時開平方，將2次方程轉化為一次方程，向學生滲透數學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉化，這是研究數學問題常用的方法，化未知為已知．

二、教學重點、難點

1．教學重點：用直接開平方法解一元二次方程．

2．教學難點：（1）認清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數）這樣結構特點的一元二次方程適用于直接開平方法．（2）一元二次方程可能有兩個不相等的實數解，也可能有兩個相等的實數解，也可能無實數解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常數），當c＞0時，有兩個不等的實數解，c＝0時，有兩個相等的實數解，c＜0時無實數解．

三、教學步驟

（一）明確目標

在初二代數“數的開方”這一章中，學習了平方根和開平方運算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一個數平方根的運算叫做開平方運算”．正確理解這個概念，在本節課我們就可得到最簡單的一元二次方程x2＝a的解法，在此基礎上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常數，a≠0，c≥0）結構特點的一元二次方程，從而達到本節課的目的．

（二）整體感知

通過本節課的學習，使學生充分認識到：數學的新知識是建立在舊知識的基礎上，化未知為已知是研究數學問題的一種方法，本節課引進的直接開平方法是建立在初二代數中平方根及開平方運算的基礎上，可以說平方根的概念對初二代數和初三代數起到了承上啟下的作用．而直接開平方法又為一元二次方程的其他解法打下堅實的基礎，此法可以說起到一個拋磚引玉的作用．學生通過本節課的學習應深刻領會數學以舊引新的思維方法，在已學知識的基礎上開發學生的創新意識．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）什么叫整式方程？舉兩例，一元一次方程及一元二次方程的異同？

（2）平方根的概念及開平方運算？

2．引例：解方程x2-4=0．

解：移項，得x2＝4．

兩邊開平方，得x＝±2．

x1＝2，x2＝-2．

分析x2＝4，一個數x的平方等于4，這個數x叫做4的平方根（或二次方根）；據平方根的性質，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；所以這個數x為±2．求一個數平方根的運算叫做開平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．使學生體會到直接開平方法的實質是求一個數平方根的運算．

練習：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．學生在練習、板演過程中充分體會直接開平方法的步驟以及蘊含著關于平方根的一些概念．

3．例1解方程9x2-16＝0．

解：移項，得：9x2=16，

此例題是在引例的基礎上將二次項系數由1變為9，由此增加將二次項系數變為1的步驟．此題解法教師板書，學生回答，再次強化解題

負根．

練習：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．

例2解方程（x＋3）2＝2．

分析：把x＋3看成一個整體y．

例2把引例中的x變為x+3，反之就應把例2中的x+3看成一個整體，

兩邊同時開平方，將二次方程轉化為兩個一次方程，便求得方程的兩個解．可以說：利用平方根的概念，通過兩邊開平方，達到降次的目的，化未知為已知，體現一種轉化的思想．

練習：教材P．8中2，此組練習更重要的是體會方程的左邊不是未知數的平方，而是含有未知數的代數式的平方，而右邊是個非負實數，采用直接開平方法便可以求解．

例3解方程（2-x）2-81＝0．

解法（一）

移項，得：（2-x）2＝81．

兩邊開平方，得：2-x=±9

2-x＝9或2-x＝-9．

x1=-7，x2＝11．

解法（二）

（2-x）2＝（x-2）2，

原方程可變形，得（x-2）2=81．

兩邊開平方，得x-2＝±9．

x-2＝9或x-2＝-9．

x1＝11，x2＝-7．

比較兩種方法，方法（二）較簡單，不易出錯．在解方程的過程中，要注意方程的結構特點，進行靈活適當的變換，擇其簡捷的方法，達到又快又準地求出方程解的目的．

練習：解下列方程：

（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

在實數范圍內解一元二次方程，要求出滿足這個方程的所有實數根，提醒學生注意不要丟掉負根，例x2＋36＝0，由于適合這個方程的實數x不存在，因為負數沒有平方根，所以原方程無實數根．-x2＝0，適合這個方程的根有兩個，都是零．由此滲透方程根的存在情況．以上在教師恰當語言的引導下，由學生得出結論，培養學生善于思考的習慣和探索問題的精神．

那么具有怎樣結構特點的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡單呢？啟發引導學生，抽象概括出方程的結構：（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0），即方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，另一邊是非負實數．

（四）總結、擴展

引導學生進行本節課的小節．

1．如果一元二次方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負常數，便可用直接開平方法來解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0）．

2．平方根的概念為直接開平方法的引入奠定了基礎，同時直接開平方法也為其它一元二次方程的解法起了一個拋磚引玉的作用．兩邊開平方實際上是實現方程由2次轉化為一次，實現了由未知向已知的轉化．由高次向低次的轉化，是高次方程解法的一種根本途徑．

3．一元二次方程可能有兩個不同的實數解，也可能有兩個相同的實數解，也可能無實數解．

四、布置作業

1．教材P．15中A1、2、

2、P10練習1、2；

P．16中B1、（學有余力的學生做）．

五、板書設計

12．1用公式解一元二次方程（二）

引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0

解：…………

……例2解方程（x＋3）2＝2

此種解一元二次方程的方法稱為直接開平方法

形如（ax＋b）2＝c（a，b，

c為常數，a≠0，c≥0）可用直接開平方法

六、部分習題參考答案

教材P．15A1

篇（5）

（一）知識教學點：

1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．

2．學會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進行有關的證明．

（二）能力訓練點：

1．培養學生思維的嚴密性，邏輯性和靈活性．

2．培養學生的推理論證能力．

（三）德育滲透點：通過例題教學，滲透分類的思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．

2．教學難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．

三、教學步驟

（一）明確目標

上節課學習了一元二次方程根的判別式，得出結論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根．”這個結論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結論的逆命題是成立的，可作為定理用．本節課的目標就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進行有關的證明．

（二）整體感知

本節課是上節課的延續和深化，主要是在“明確目標”中所提的逆定理的應用．通過本節課的內容的學習，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數系數的取值，本節課內容對學生嚴密的邏輯思維及思維全面性進行恰如其分的訓練．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數，一次項系數及常數項．

（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？

2．將復習提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數根，則＞0；如果方程有兩個相等的實數根，則=0；如果方程沒有實數根，則＜0．”即根據方程的根的情況，可以決定值的符號，‘’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：

例1已知關于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時

（1）方程有兩個不相等的實數根；

（2）方程有兩個相等的實數根；

（1）方程無實數根．

解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，

b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）

＝8k+9．

方程有兩個不相等的實數根．

方程有兩個相等的實數根．

方程無實數根．

本題應先算出“”的值，再進行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．

練習1．已知關于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．

t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根？（2）方程有兩個相等的實數根？（3）方程沒有實數根？

學生模仿例題步驟板書、筆答、體會．

教師評價，糾正不精練的步驟．

假設二項系數不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？

練習2．已知：關于x的一元二次方程：

kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數根，求k的取值范圍．

和學生一起審題（1）“關于x的一元二次方程”應考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數根”應是有兩個相等的實數根或有兩個不相等的實數根，可得到≥0．由k≠0且≥0確定k的取值范圍．

解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．

原方程有兩個實數根．

學生板書、筆答，教師點撥、評價．

例求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數根．

分析：將算出，論證＜0即可得證．

證明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）

＝4m2-4m4-20m2-16

＝-4（m4＋4m2＋4）

＝-4（m2＋2）2．

不論m為任何實數，（m2＋2）2＞0．

-4（m2＋2）2＜0，即＜0．

（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．

本題結論論證的依據是“當＜0，方程無實數根”，在論證＜0時，先將恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．

本題是一道代數證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據，推理嚴謹．

此種題型的步驟可歸納如下：

（1）計算；（2）用配方法將恒等變形；

（3）判斷的符號；（4）結論．

練習：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數根．

提示：將括號打開，整理成一般形式．

學生板書、筆答、評價、教師點撥．

（四）總結、擴展

1．本節課的主要內容是教科書上黑體字的應用，求符合題意的字母的取值范圍以及進行有關的證明．須注意以下幾點：

（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數不為零這一條件．

（2）認真審題，嚴格區分條件和結論，譬如是已知＞0，還是要證明＞0．

（3）要證明≥0或＜0，需將恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．

2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴密性和思維全面性的能力．

四、布置作業

1．教材P．29中B1，2，3．

2．當方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數根時，求a的正整數解．

（2、3學有余力的學生做．）

五、板書設計

12．3一元二次方程根的判別式（二）

一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……

=b2-4ac…………

二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

（1）當＞0，……練習1……練習2……

（2）當＝0，……

（3）當＜0，……

反之也成立．

六、作業參考答案

方程沒有實數根．

B3．證明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5

當k無論取何實數，4k2≥0，則4k2＋5＞0

＞0

方程x2+（2k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．

2．解：方程有實根，

＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0

即：a≤3，a的正整數解為1，2，3

當a＝1，2，3時，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有實根．

3．分析：“方程”是一元一次方程，還是一元二次方程，需分情況討論：

篇（6）

【教學目標】

【知識目標】了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關概念，并會判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。

【能力目標】通過討論和練習，進一步培養學生的觀察、比較、分析的能力。

【情感目標】通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生良好的數學應用意識。

【重點】二元一次方程組的含義

【難點】判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解，培養學生良好的數學應用意識。

【教學過程】

一、引入、實物投影

1、師：在一望無際呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說：“累死我了”，小馬說：“你還累，這么大的個，才比我多馱2個”老牛氣不過地說：“哼，我從你背上拿來一個，我的包裹就是你的2倍！”，小馬天真而不信地說：“真的？！”同學們，你們能否用數學知識幫助小馬解決問題呢？

2、請每個學習小組討論（討論2分鐘，然后發言）

這個問題由于涉及到老牛和小馬的馱包裹的兩個未知數，我們設老牛馱x個包裹，小馬馱y個包裹，老牛的包裹數比小馬多2個，由此得方程x-y=2，若老牛從小馬背上拿來1個包裹，這時老牛的包裹是小馬的2倍，得方程：x+1=2(y-1)

師：同學們能用方程的方法來發現、解決問題這很好，上面所列方程有幾個未知數？含未知數的項的次數是多少？（含有兩個未知數，并且所含未知數項的次數是1）

師：含有兩個未知數，并且含未知數項的次數都是1的方程叫做二元一次方程

注意：這個定義有兩個地方要注意①、含有兩個未知數，②、含未知數的次數是一次

練習：（投影）

下列方程有哪些是二元一次方程

+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3x

xy=12x(y+1)=c2x-y=1x+y=0

二、議一議、

師：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含義相同嗎？y呢？

師：由于x、y的含義分別相同，因而必同時滿足x-y=2和x+1=2(y-1)，我們把這兩個方程用大括號聯立起來，寫成

x-y=2

x+1=2(y-1)

像這樣含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

如：2x+3y=35x+3y=8

x-3y=0x+y=8

三、做一做、

1、x=6,y=2適合方程x+y=8嗎？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你還能找到其他x,y值適合x+y=8方程嗎？

2、X=5,y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2,y=8呢？

你能找到一組值x,y同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？

適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的解

x=6,y=2是方程x+y=8的一個解，記作x=6同樣，x=5

y=2y=3

也是方程x+y=8的一個解，同時x=5又是方程5x+3y=34的一個解，

y=3

二元一次方程各個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

四、隨堂練習、（P103）

五、小結：

1、含有兩未知數，并且含有未知數的項的次數是一次的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解是一個互相關聯的兩個數值，它有無數個解。

篇（7）

教學目標：

1.通過分析實際問題中的數量關系，建立方程解決問題，進一步認識方程模型的重要性。

2.掌握移項的方法，學會解ax+b=cx+d類型的一元一次方程，體會等式變形中蘊含的化歸思想。

教學重點：

確定實際問題中的相等關系，建立形如ax+b=cx+d的方程，利用移項與合并同類項解一元一次方程。

教學難點：

確定相等關系并列出一元一次方程，正確地進行移項并解方程。

教學過程設計：

1.創設情境，提出問題

問題1把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本，如果每人分4本，則缺25本，這個班有多少學生？

師生互動：學生審題之后，教師提出問題：

（1）題中含有怎樣的相等關系？

（2）應怎樣設未知數，這批書的總數有幾種表示法？它們之間有什么關系？本題哪個相等關系可作列方程的依據呢？

學生發表見解后，教師引導學生回顧列方程解決實際問題的基本思路，學生自主分析相等關系，師生共同確定用含x的代數式表示相等的數量。

本題中除班級人數x外，這批書的總數是一個定值，它可以有兩種表示方法：

每人分3本，共分出3 x本，加上剩余的20本，這批書共有（3x+20）本；

每人分4本，共分出4x本，減去缺少的25本，這批書共有（4x-25）本。

這批書的總數是一個定值，表示的兩個式子應相等，根據這一相等關系列得方程。3x+20=4x-25。

設計理念：以學生身邊熟悉的實際問題展開討論，營造一種輕松的學習氛圍，激發學生繼續學習的愿望。根據學生情況，逐步放手，培養學生獨立解決問題的能力。

2.嘗試合作，探究方法

問題2方程3x+20=4x-25與前面學過的一元一次方程在結構上有什么不同？

師生互動：教師展示問題，學生獨立思考，小組討論，代表回答：方程3x+20=4x-25的兩邊都有含x的項（3x與4x）和不含字母的常數項（20與-25），而上一節課中的方程中含x的項在等號的一側，常數項在等號的另一側。

設計理念：調動學生進一步學習新知識的積極性，滲透化歸的思想。

問題2怎樣才能將它轉化為x=a（常數）的形式呢？

師生互動：學生思考、探索解決問題的方法：為了使方程的右邊沒有含x的項，等號兩邊同減去4x；為使左邊沒有常數項，等號兩邊同減去20，利用等式的性質1，得：

3x- 4x = -25-20

教師說明：上面方程的變形，相當于把原方程左邊的20變為-20移到右邊，把右邊的4x變為-4x移到左邊。這種變形相當于把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

設計理念：通過學生的思考，觀察和教師的講解，認識“移項”變形，得出移項的方法，便于學生理解移項的原理。

師生互動：教師規范解這個方程的具體過程。

3x+20= 4x-25

解：移項，得

3x- 4x = -25-20

合關同類項，得

- x = - 45

系數化為1。

x = 45

設計理念：教師通過書寫解方程的過程，可以提高學生解題的規范性。

問題4移項的依據是什么？

師生互動：學生思考后得出：移項的依據為等式的性質1。

設計理念：使學生進一步認識移項法則是由于解方程的需要而產生的，能在理解的基礎上記憶法則。

問題5

以上方程中“移項”起了什么作用？

師生互動：學生思考回答，師生共同整理：通過移項，可以簡化方程，使含未知數的項與常數項分別位于方程的左右兩邊，使方程更接近于x=a的形式。

設計理念：結合解方程的過程，讓學生思考移項的作用，讓學生體會化歸的思想。

教師：解方程時經常要“合并同類項”和“移項”前面提到的古老的代數書中的“對消”和“還原”，指的就是“合并同類項”和“移項”，早在一千多年前，數學家阿爾一花拉子米就已經對“合并同類項”和“移項”非常重視了。

設計理念：回答教科書本節最初的問題，讓學生重視移項的作用，同時感受數學知識悠久的歷史。

3.例題示范：鞏固新知

例3解方程：（1）3x+7=32-2x； （2）x-3= 3/2x+1

師生互動：學生口述解題，教師板書規范思路、格式。

設計理念：進一步鞏固利用移項、合并同類項解方程的方法。

4.基礎訓練，鞏固應用

練習解下列方程：

（1）6x-7=4x-5 ； （2）1/2x-6 = 3/4x

設計理念：通過練習，及時鞏固新知識，加深對化歸思想的理解。

5.小結

師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：

（1）本節課學習了哪些主要內容？

（2）移項的依據是什么？移項起到什么用用？移項時應該注意什么問題？

（3）解ax+b=cx+d型方程的步驟是什么？

（4）用方程來解決實際問題的關鍵是什么？

篇（8）

二、學情分析

學生在上節課已學習了用配方法解一元二次方程，通過觀察、了解及測試發現學生已經具備了用配方法解一元二次方程的經驗。在本節課中可以引導學生用配方法解一元二次方程的步驟自主探索一元二次方程的求根公式。通過例題的講解，使學生會用公式法解一元二次方程。

三、教學策略選擇與設計

1.設計理念 把課堂還給學生，讓學生用自主、合作、探究、體驗的方式去學習，使學生達到對知識的理解和掌握，形成自己的知識結構，使他們樂學、愿學、會學，以培養學生終身學習能力。

2.突破策略 復習用配方法解一元二次方程的一般步驟，根據配方法解一元二次方程的一般步驟來推導求根公式。

四、教學目標

1.理解求根公式的推導 加強推理技能的訓練，會用公式法解簡單的數字系數的一元二次方程。

2.經歷探索一元二次方程求根公式的過程 發展合情推理與演繹推理的能力。體會配方法的重要作用。體會公式法在解一元二次方程中的重要地位。

3.探索一元二次方程求根公式的過程 引導學生提出問題引發思考b2-4ac

4.培養學生學會用聯系的觀點 用舊知解新知的意識解決新的問題。提高學生學習數學的興趣。敢于發表自己的想法、提出質疑，養成獨立思考、合作交流等學習習慣。

五、教學重點及難點

重點：理解一元二次方程求根公式的推導過程及每一步的依據。用公式法熟練地解一元二次方程。

難點：經歷一元二次方程求根公式的推導過程，解的過程中的有關根式的化簡。

六、教學過程

1.溫故知新 用配方法解方程2x2-5x-3=0（學生回顧用配方法求解一元二次方程的步驟與方法，獨立解方程。一名同學板演。）

設計意圖：通過此題讓學生回憶配方法求解一元二次方程的步驟與方法。

2.自主探究

（1）你能用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）嗎？請試一試。

（2）思考：b2-4ac的符號與方程的根有什么關系？

設計意圖：通過此題引導學生用配方法自主探索一元二次方程的求根公式的推導過程。并弄清推導過程中每一步的依據。同時要求學生關注b2-4ac的符號與方程根的關系。旨在加強學生推理技能的訓練，進一步發展學生的邏輯思維能力。

3.請你歸納 （通過方程式求根，得出公式法，培養學生的歸納總結能力。略）

4.實踐應用 （解方程式鞏固方法，略）

5.強化鞏固 完成課本43頁隨堂練習

（學生自主完成，每小組出一人板演。組內自批自改。）

設計意圖：在例題的基礎上進一步強化和熟練根的判別式的應用意識，規范學生運用公式法求解一元二次方程的步驟，使學生能熟練地運用公式法正確地解簡單數字系數的一元二次方程，并用之解決實際問題。

七、教學評價設計

按小組分展示得分和回答問題得分兩項分別評價。

八、板書設計（略）

九、教學反思

本節課是在學生掌握了配方法的基礎上，再討論如何用配方法解一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，從而得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式求解一元二次方程的公式法，并引出用判別式確定一元二次方程的根的情況.總結出公式法解一元二次方程的一般步驟。

由于學生初次接觸求根公式，且形式和計算繁雜，且本人過高估計學生的能力，結果出現了以下主要錯誤：

1.a，b，c的符號問題 當方程中某項系數為負時，學生總是丟掉前面的負號;

2.代入數值后計算出錯較多 通過本節課的教學，總體感覺調動了學生的積極性，能夠充分發揮學生的主體作用，激發了學生思維的火花，具體有以下幾個特點：

（1）讓學生由淺入深，由易到難，提高了學生解決問題的能力，這是這節課中的一大亮點，在講完例題的基礎上，將更多的時間留給學生，這樣學生感覺到成功的機會增加，從而有一種積極的學習態度，同時學生在學習中相互合作交流，相互學習，共同提高。

（2）課堂上多給學生展示的機會，讓學生走上講臺，向同學們展示自己的聰明才智。

篇（9）

一元一次方程與實際應用是一元一次方程中的重點和難點問題，如何處理好應用問題和一元一次方程的關系關系到教學效益的提高.以下就從實踐和反思的角度來探討這一問題.

一、一元一次方程與實際應用案例分析

1.問題導入，激發興趣

在教授一元一次方程與實際應用時，筆者是以問題導入的：在一次有12支球隊參加的足球循環賽中（每兩隊必須賽一場），規定勝一場3分，平一場1分，負一場0分，某隊在這次循環賽中所勝場數比所負的場數多兩場，結果得18分，那么該隊勝了幾場？

首先，這個問題相對于初一的學生來說不是太難，拿此問題導入不僅可以激發學生興趣，還能開發學生的抽象思維.其次，本問題以學生的實際生活為背景，教師在導入時創設教育情境，可以讓學生主動地從生活中挖掘、體會數學的內涵和意義，從而使學生更好地感受到數學與自己的生活息息相關，真正感受數學的社會價值.最后，以問題導入讓學生主動去思考問題可以啟發學生主動建構.這是一個激發學生智慧的過程，從而讓學生感受到數學所帶來的快樂，以學習一元一次方程的數學知識為載體，在學生以后的學習中能起到潛移默化的教育作用，在教學中教師不能小覷.

2.聯系實際，引導探究

問題已經導入，接下來就是引導學生走進實際生活，探究問題了，在這里筆者選取了課本中的例子（本例貼合實際，不易變動）.

男生都喜歡看CBA，激烈的對抗中比分交替上升，最終由積分顯示牌上的各隊積分進行排位.下面我們來看一個2000賽季國內籃球甲A聯賽常規賽的最終積分榜：

隊名場次勝場負場積分上海東方2218440北京首鋼2214836遼寧盼盼22121034前衛奧神 22111133江蘇南鋼22101232浙江萬馬2271529雙星濟軍2261628沈部雄師2202222

問題一：要解決問題時，必須求出勝一場積幾分，負一場積幾分，你能從積分表中得到負一場積幾分嗎？

問題二：你能不能列一個式子來表示積分與勝、負場數之間的數量關系？

問題三：某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？

問題四：想一想，x表示什么量？它可以是分數嗎？由此你能得出什么結論？

問題五：如果刪去積分榜的最后一行，你還會求出勝一場積幾分，負一場積幾分嗎？

本例題，通過五個小問題將整個大問題一步步進行分解.問題一中，是讓學生通過看表得出規律的，經分析學生們就能發現其中奧秘：負一場積1分.如果設勝一場積x分，從表中其他任何一行可以列方程，便可求出x的值.例如，從第一行得方程：18x+1×4=40.問題二中，是引導學生列出和實際問題相關的一元一次方程，根據勝、負關系學生就可輕松地解決這一問題：如果一個隊勝m場，則負（22-m）場，勝場積分為2m，負場積分為22-m，總積分為2m+（22-m）=m+22.問題三中，依然是引導學生列出和此實際問題相關的一元一次方程，此處題解就不贅述了.問題四中，就是讓學生把實際問題和數學知識結合起來，通過分析解決實際問題時，引導學生要考慮得到的結果是不是符合實際.x（所勝的場數）的值必須是整數，所以x=22÷3不符合實際，由此可以判定沒有哪個隊的勝場總積分等于負場總積分.此環節的設計讓學生的數學意識再一次深化了.問題五中，是為了鞏固學生列出和實際問題相關的一元一次方程的能力，通過上述四個小問題的鋪墊，學生便能一步一個腳印地完成這一問題.

二、關于一元一次方程與實際應用的教學反思

1.一處亮點

本次教學是筆者曾經執教過的一堂課，本次課教學目標明確，雖然一節課知識講了一個知識點，但是它是基于學情的，從課堂學生的表現和反應來看，大部分學生都能在第三環節中作出兩道數學題，只有少部分學生不知所措.

2.兩處遺憾

第一處遺憾：本次教學著重是解決一元一次方程與實際應用的問題，但是本課節選的此問題和學生的生活實際稍遠，尤其是女生，不如再細化一下更好.第二處遺憾：讓學生進行討論和交流實際問題、列出方程，才能讓學生進行充分的學習，但是本次課，筆者主要偏重的是講授，只有在第三環節才發揮了學生的主體參與性.因此，教師在實際問題的基礎上要引導學生發揮作用，最終，通過一元一次方程知識的學習讓學生接受數學文化的熏陶.

【參考文獻】

篇（10）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

會列二元一次方程組解簡單的應用題，并能檢查結果是否正確、合理．

（二）能力訓練點

培養學生分析問題、解決問題的能力．

（三）德育滲透點

1．體會代數方法的優越性．

2．向學生進一步滲透把未知轉化為已知的思想．

3．向學生進行理論聯系實際的教育．

（四）美育滲透點

學習列方程組解應用題時，若能在錯綜復雜的關系中抓住問題的關鍵，就能迅速通過相等求解，從而滲透解題的簡捷性的數學美，以及解題的奇異美．

二、學法引導

1．教學方法：嘗試指導法、觀察法、講練結合法．

2．學生學法：本節主要學習列二元一次方程組和三元一次方程組解應用題的方法，尤其重點要掌握列出二元一次方程組解應用題，其分析方法和解題步驟都與前面學過的列一元一次方程解應用題類似，可在學習中進行類比從而加強理解．

三、重點·難點·疑點及解決辦法

（一）重點與難點

根據簡單應用題的題意列出二元一次方程組．

（二）疑點

正確找出表示應用題全部含義的兩個相等關系，并把它們表示成兩個方程．

（三）解決辦法

通過反復讀題、審題，分析出題目中存在的兩個相等關系是列方程組的關鍵．

四、課時安排

一課時．

五、教學具學具準備

投影儀、自制膠片．

六、師生互動活動設計

1．通過提問，復習列一元一次方程解應用題的步驟，尤其相等關系的尋找問題．

2．師生共同探索新知識—列二元一次方程組解應用題的一般步驟．

3．通過反饋練習，檢查學生掌握知識的情況，以便有針對性地進行差漏補缺．

七、教學步驟

（一）明確目標

本節課主要學習列二元一次方程組解應用題．

（二）整體感知

列二元一次方程組解應用題的關鍵在于通過準確的審題迅速尋找出兩個正確的相等關系來列二元一次方程組．

（三）教學過程

1．創設情境、導入新課

（1）根據下列條件設適當的未知數，列出二元一次方程．

①甲、乙兩數的和是10．

②甲地的人數比乙地的人數的2倍還多70．

③買4支鉛筆、3支圓珠筆共花了1.6元．

（2）甲、乙兩工人師傅制作某種工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作幾件？

①列出一元一次方程和二元一次方程組解題．

②比較一下，兩種方法得到的結果是否相同？是列一元一次方程容易，還是列二元一次方程組容易？

學生活動：第（1）題口答，第（2）題在練習本上完成．

【教法說明】第（1）題為根據相等關系列二元一次方程打下了基礎；第（2）題通過兩種解法的比較，讓學生體會列方程組的優越性，這樣引入課題，可以引起學生學習新知識的興趣．

2．探索新知，講授新課

例1小華買了80分與2元的郵票共16枚，共花了18元8角，80分與2元的郵票各買了多少枚？

分析：（1）題中有幾個未知數？分別是什么？

（2）題中有幾個相等關系？分別是什么？

學生活動：觀察、分析后回答．

未知數：80分郵票枚數與2元的郵票枚數．

相等關系（1）80分郵票枚數＋2元郵票枚數＝總枚數．

（2）80分郵票總價＋2元郵票總價＝全部郵票總價．

學生活動：設未知數、根據相等關系列方程．

解：設共買枚80分郵票，枚2元郵票，根據題意得

解這個方程組，得

答：80分郵票買了11枚，2元郵票買了5枚．

強調：（1）選定幾個未知數，根據問題中的條件找幾個相等關系，這幾個相等關系正好表示了應用題的全部含義．

（2）列方程組解應用題時，解方程組過程在練習本上完成．

（3）得到結果后，要檢驗是不是原方程組的解，是不是符合應用題的實際意義，然后再寫答句．

反饋練習：P351，2．（只列不解）

例2小蘭在玩具工廠勞動，做4個小狗、7個小汽車用去3小時42分；做5個小狗、6個小汽車用去3小時37分．平均每1個小狗與1個汽車各用多少時間？

仿照剛才分析例1的方法，分析問題．

學生活動：擬題、自由提問，其他學生搶答．

教師根據學生的擬題板書．

兩個未知數：平均做1個小狗的時間與1個小汽車的時間

（1）做4個小狗的時間＋做7個小汽車的時間＝3時42分

（2）做5個小狗的時間＋做6個小汽車的時間＝3時37分

解題過程由學生完成，一個學生板演．

解：設平均做1個小狗用分，做1個小汽車有分，根據題意，得

解這個方程組，得

答：平均做一個小狗用17分，做1個小汽車用22分．

【教法說明】例2用擬題訓練的方法讓學生自己去嘗試分析問題，不但能活躍課堂氣氛，而且能促進學生積極思維，培養學生分析問題、解決問題的能力．

反饋練習：P353，4．

學生活動：口答、設未知數、列方程組．

3．變式訓練，培養能力

用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個或制盒底43個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現有150張白鐵皮，用多少張制盒身、多少張制盒底，可以正好制成整套罐頭盒？

分析：此題的相等關系不明顯，應啟發學生認真思考，找到第二個相等關系．

相等關系：（1）制盒身鐵皮張數＋制盒底鐵皮張數＝150張．

（2）盒底總數＝2×盒身總數．

解：設用張鐵皮制盒身，張鐵皮制盒底，可以制成整套缺頭盒．根據題意，得

（四）總結、擴展

我們這節課學習了二元一次方程組的應用，你能簡單歸納出列二元一次方程組解應用題的步驟嗎？

學生發言后，老師適當補充、糾正．

八、布置作業

（一）必做題：P391，2，3．

（二）選做題：P41B組2．

（三）補充題：給定兩數5和3，編一道列出二元一次方程組求解的應用題，使得這個方程組的解就是給定的兩數．

參考答案

（一）1．到甲地130人，到乙地70人．

2．有28個隊參加籃球賽，20個隊參加排球賽．

3．長38㎝，寬16㎝．

（二）解：設一輛大車、一輛小車一次分別可運貨噸、噸，根據題意，得

解得

4×3＋2.5×5＝24.5（噸）

九、板書設計

投影幕