勾股定理證明方法匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇勾股定理證明方法范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

作者簡介：周化海（1965-），男，貴州水城人，理學碩士學位，中學高級教師，研究方向學校管理和教育教學研究；

黃紹書（1966-），男，貴州黔西人，理學學士學位，中學高級教師，研究方向學校管理和教育教學研究.

勾股定理的物理方法?C明還可以借助一厚度均勻的RtABC木板靜止漂浮在水面上的模型給出.

在教學中注重交叉學科知識的相互滲透，全方位培養學生素質，提高他們綜合應用各學科知識處理實際問題的能力是極為有效的.

篇（2）

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）04-206-01

何謂勾股定理？勾股定理又叫畢氏定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。據考證，人類對這條定理的認識已經超過了4000年。據史料記載，世上有300多個對此定理的證明。勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了20多種精彩的證法。這是數學中任何定理都無法比擬的。

本文中僅介紹勾股定理的證明方法中最為精彩的兩種證明方法，據說分別來源于中國和希臘。

1、中國方法：畫兩個邊長為 的正方形，如圖，其中 為直角邊， 為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以 為邊，右圖剩下以 為邊的正方形。 于是得 。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2、希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形。 如圖，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，

故 ，所以 ，

即正方形 的面積與矩形 的面積相等。

同理可證得，正方形 的面積與矩形 的面積相等。

所以 ，即 。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

篇（3）

    數學發展的歷史包括兩種典型的數學文化:一種是重視邏輯推理的希臘數學文化,一種是重視實際應用的中國數學文化.

    數學史家將古希臘數學按時間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個時期,希臘數學文化認為,數學命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數學成為數學研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數學成果正確與否的衡量標準.這個標準逐漸發展成為對數學研究的期望或理想,即期望數學成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數學突破了之前以幾何為中心的傳統,算術、數論和代數逐漸脫離了幾何的束縛.這一時期受羅馬實用思想的影響,論證數學不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數學中的邏輯推理在數學研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術》書中采用純分析的途徑處理數論與代數問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發展成為數學研究的新理想,即希望數學問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個希臘數學文化,數學研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.究其本質,邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質的思想,并且滿足動機的定義.因此它是古希臘數學研究的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.

    中國古代數學在整體發展上表現為算法的建構和改進[5].所謂“算法”不只是單純的計算,而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法[4].算學的目的在于解決實際問題,而實際問題是層出不窮的,因此中國古代數學不僅經受住了統治者廢除“明算”科的考驗,甚至還有所發展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數學文化的形成,用數學知識解決實際問題成為算學的理想,即期望數學成果能夠被實際應用.中國古代數學研究成為受這個理想而支配的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.實際應用滿足動機的定義,因此它是中國古代數學發展的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.

    所以邏輯推理與實際應用是人類進行數學研究的兩個動機,按動機的分類它們屬于驅力,是從生理需要出發的內在動機.數學學習可以認為是有方向性的對已有數學成果的再次研究過程,可以看作是數學研究的特例形式.依據歷史發生原理綜合分析得出:人類進行數學研究的內在動機一定會在數學學習中表現出來,即激勵人類研究數學的內在動機與激勵學生學習的內在動機是一致的.

    從實際情況出發,邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實際應用也是大家十分感興趣的,如通過應用基本的空氣動力學知識制作航模.

    綜上所述,邏輯推理與實際應用是數學學習動機,且這兩個數學學習動機是學生共有的、內在的,也是在實際教學中易于對學生進行培養的數學學習動機.

    古希臘數學中的公理化思想是希臘數學文化的重要特點之一.公理化思想出現的標志是歐幾里得的《幾何原本》.在數學中引入邏輯因素,對命題加以證明,一般認為是從伊奧尼亞學派開始的,但畢達哥拉斯學派在這一方面作了重大的推進,他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發展.

    算法程序化思想是中國數學文化的另一個重要特點.算法程序化思想出現的標志是成書于公元前后的《九章算術》.實際應用思想雖沒有明確的出現標志,但在《九章算術》成書前的《周髀算經》、《算數書》等書中涉及的數學知識都蘊含著明確的實際應用思想.算法的提出是為了解決一類實際問題,算法程序化為了使算法嚴謹、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實際應用思想,且算法程序化思想是實際應用思想的發展.

    隨著數學發展,公理化思想與算法程序化思想已應用到現代數學中,成為現代數學的特點.但它們不是貫穿整個古希臘數學與中國古代數學研究的內在因素,而是邏輯推理與實際應用數學思想發展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數學學習的動機,但適宜群體明顯要少得多.數學發展至今,數學本身的文化區域性特點淡薄了,希臘數學文化與中國數學文化背后的驅力——邏輯推理與實際應用思想,早已相互融合.近代微積分的應用及理論的嚴密化過程就是一例.

    二、比較古今數學教材以研究初中教材兩個學習動機的培養

    教材是教學中最重要的用書之一,是教師教學、學生學習的主要依據.《幾何原本》、《九章算術》作為西方與中國的數學教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當時的數學文化背景.重視邏輯推理與重視實際應用分別成為教學思想包含在這兩本書中.

    因為《九章算術》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現行數學教材與《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》進行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內容,且知識體系完備,預備知識基本一致,學生認知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對象.這種比較雖不能以點代面,但仍有較強的代表性與啟發性.現行數學教材采用經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過的義務教育課程標準實驗教科書八年級數學下冊[6],以第18章第1節勾股定理內容為標準,選擇《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》部分內容進行比較.因《幾何原本》的成書結構是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習題,所以選擇其中與勾股定理有關或利用勾股定理證明的命題作為比較對象.由于初中教材在講解勾股定理時,預備知識中未包含圓、無理量及立體幾何內容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對象.《九章算術及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質求高深廣遠,因初中教材勾股定理的預備知識中沒有相似三角形及勾股數組的內容,所以選擇《九章算術及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對象.

    1.各種教材中勾股定理的內容

    (1)編寫目的

    《全日制義務教育數學課程標準(修改稿)》(下簡稱為《標準》)中勾股定理的教學要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題[9].《幾何原本》與《九章算術及劉徽注》雖沒有類似的編寫標準,但可以從它們的內容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉換面積間關系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術及劉徽注》利用勾股定理數量關系求得高深廣遠,解決實際生活的問題.

    (2)知識框架

    初中教材通過生活發現與幾何直觀探索,建立從實際到理論再到實際的知識體系,并運用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識體系,重在證明未知命題.《九章算術及劉徽注》通過給出3個簡單幾何問題“術”,建立從理論到實際的應用知識體系,旨在解決實際問題.3者建構的知識框架各不相同.

    (3)定理引入

    初中教材的導入分為兩部分,分析畢達哥拉斯發現的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導入可以認為是定義、公理、公設及已知命題.《九章算術及劉徽注》的導入是3個已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.

    (4)定理表述

    初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術及劉徽注》中的勾股定理以3個簡單幾何問題術的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對比,初中教材體現數形結合的勾股定理且形體現在邊長上;《幾何原本》中體現形的勾股定理且形體現在面積上;而《九章算術及劉徽注》體現數的勾股定理.各自的表述為其內容服務,它們之間存在一定差異.

    (5)定理證明

    初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉證明定理猜想.這種證明方法是近年來學者們傾向于“古證復原”思想提出的.初中教材對定理證明如下[6]:

    趙爽注釋的《周髀算經》對勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二,倍之為朱實四.以勾股之差自相乘為中黃實.加差實一亦成弦實[8].

篇（4）

例1 一個直立的火柴盒在桌面上倒下,啟迪人們發現了勾股定理的一種新的證明方法.如圖1,火柴盒的一個側面ABCD倒下到A B'C'D'的位置,連接CC',設AB=a,BC=b,AC=c,請利用四邊形BCC'D'的面積證明勾股定理:a2+b2=c2.

證明: 四邊形BCC'D'為直角梯形,

S梯形BCC'D'=(BC+C'D')•BD'=.

RtABC≌RtAB'C',∠BAC=∠B'AC'.

∠CAC'=∠CAB'+∠B'AC'=∠CAB'+∠BAC=90?

S梯形BCC'D'=SABC+SCAC'+SD'AC'

=ab+c2+ab=.

=.a2+b2=c2.

說明:在近幾年的中考試題中,考查勾股定理證明的試題有增強的趨勢,主要是利用圖形面積之間的關系證明勾股定理,一方面增進了同學們對證明勾股定理的數學史的了解,另一方面這類試題對培養同學們的探索精神也大有裨益.

二、勾股定理在計算中的應用

例2 如圖2,在ABC中,∠CAB=120B=4,AC=2,ADBC,D是垂足.求AD的長.

解:過C作CEBE交BA的延長線于E,

AC=2,AE=1.

在RtACE中,由勾股定理得:

CE2=AC2-AE2=3,CE=,

在RtBCE中,由勾股定理得:BC2=CE2+BE2=28,

BC=2.SABCA=AB說明:當所給的圖形有直角三角形時,我們可想到勾股定理的應用.

三、勾股定理的實際應用

例3如圖3, 一架長5米的梯子 ,斜立在一豎直的墻上,這時梯子底端距墻底3米.如果梯子的頂端沿墻下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動1米嗎?用所學知識,論證你的結論.

解:是.證明如下:

在RtACB中,BC=3,AB=5,

根據勾股定理得AC==4米.

DC=4-1=3米.

在RtDCE中,DC=3,DE=5,

根據勾股定理得CE==4米.

BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑動了1米.

說明:在用勾股定理解決實際問題時,關鍵是根據題意畫出圖形,把實際問題抽象成數學模型,然后運用勾股定理等解決,必要時還要用到方程(組)的方法求解.

四、與勾股定理有關的探索題

例4 圖4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成,其序號依次為①、②、③、④、⑤、…,則第n個等腰直角三角形的斜邊長為_____________.

解:觀察圖形可知①對應斜邊長為,②對應斜邊長為,③對應的斜邊長為,……,第n個對應斜邊長為.

五、勾股定理逆定理的應用

例5 已知a,b,c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷ABC的形狀.

解: a2c2-b2c2=a4-b4 ,

c2( a2-b2)=( a2+b2) (a2-b2).

(1)當a2-b2≠0時,化簡后得c2=a2+b2 ,

ABC是直角三角形.

(2)當a2-b2=0時,a=b, ABC是等腰三角形.

說明:本題結合因式分解的知識,綜合考查了提公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的逆定理,同時還考查了等式的性質2:在等式兩邊不能同時除以一個可能為0的數,這往往是我們最容易忽視的地方,應引起大家的注意.

六、與勾股定理有關的創新題

例6 在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖5所示).已知斜放置的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4=________.

分析:根據已知條件可知AC=EC,∠ABC=∠CDE=90CB+∠ECD=90傘CD+∠CED=90浴CB=∠CED,這樣可得ABC≌CDE,所以BC=ED,

在RtABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

篇（5）

在具體的數學課堂教學上，可以從下列途徑培養學生發現問題、提出問題的意識和能力;當然還可以從其他更多的途徑進行訓練。

1.從建立概念（或命題）的過程中發現問題、提出問題

在蘇科版《數學》（八年級上冊）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理證明》的教學中，通過畫圖，用三個正方形面積來驗證了直角三角形斜邊、直角邊之間的關系，得到了一個正確的命題：勾股定理，而后介紹公元前1000多年前《周髀算經》記載的“勾三股四弦五”的結論。此時可引導學生對勾股定理來思考：對勾股定理可以提出哪些問題？舉數例如下：

（1）中國人老早就發現了勾股定理，那么外國人有沒有發現勾股定理？如發現了，最早是什么時候、是誰發現的？（這個問題如何解答呢？咨詢、查圖書資料、網上搜索……）

（2）勾股定理有哪些應用呢？（求邊長、計算、證明其他命題、圖案設計、列方程……）

（3）如何證明勾股定理？（咨詢、查圖書資料、網上搜索……幾何的、代數的、三角的、面積的、向量的……多種方法）

（4）到目前為止，勾股定理有多少種證明方法？（咨詢、查圖書資料、網上搜索……）

（5）勾股定理有逆定理嗎？如有，如何證明它？

再如，學過勾股定理的逆定理之后，接著就建立勾股數的概念，可以要求學生對勾股數可提出哪些問題呢？舉數例如下：

（1）填空：

32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，

72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。

從32+42=52及上面的練習可知：至少有一組勾股數3、4、5，即勾股數是存在的。那么，勾股數是有限的還是無限的？

（2）能不能建立公式求勾股數？

（3）勾股數與直角三角形是什么關系？

（4）古人是怎樣發現勾股數的？

2.從問題中發現問題、提出問題

仍然以勾股數概念的建立為例，給出下列問題：

n是大于1的正整數，下列三個數n2-1、2n、n2+1是不是勾股數？

自然，可以讓學生自己去判斷這三個自然數是不是勾股數，很快就可以得出結論：這三個自然數是勾股數。于是，就可以引導學生思考、去探究、去提出問題：

（1）設自然數k，這三個數的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股數？如何判斷呢？（這個問題是引導學生思考：由勾股數的定義去判斷出，由一組勾股數就可以得到許多組勾股數）

（2）n取不同的值，就得到不同的勾股數，是不是就求出了所有的勾股數？（這個問題是引導學生思考勾股數是有限的還是無限的，怎樣用有限去表達無限）

（3）這三個數是怎樣得到的？（這個問題是引導學生思考、探求發現這三個數的途徑）

3.從命題的證明過程中發現問題、提出問題

問題：如圖：AD為ABC的高，∠B=2∠C，

用軸對稱圖形說明：CD=AB+BD。

給出如下解答：

（1）如圖，在CD上取一點E使DE=BD，連結AE;ADBE，

AB=AE，∠B=∠AEB，

而∠AEB=∠C+∠CAE，

所以∠B=∠C+∠CAE;

又∠B=2∠C，

2∠C=∠C+∠CAE，

∠C=∠CAE，AE=EC，

AE +BD=DE+EC，

即AB+BD=DC。

篇（6）

數學史對于數學教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數學教育類雜志可以發現，越來越多的中小學數學教師也在撰文闡述自己在教學中使用數學史的一些體會和教學案例. 在課程改革不斷深入的當下，數學史融入數學教學對于踐行課改的理念，培養全面發展有理想、有道德的高素質數學人才等方面確實有著積極的推進作用. 本文將給出一個基于數學史的勾股定理教學設計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強自身數學史修養的同時，開發出更多基于數學史的優秀教學案例.

提出問題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數學家畢達哥拉斯及其徒眾發現的，后人更渲染其事，說畢達哥拉斯諸人十分重視這項發現，特地宰了一百頭牛向天神奉獻答謝，所以中世紀時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數學家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來的這個定理是畢達哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國是最早發現勾股定理的國家，據《周髀算經》記載，我國數學家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認識. 勾股定理從發現到現在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發現時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數量關系聯系在一起，體現了數形結合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數學家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據“出入相補原理”，根據“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數學家大會會徽.

[圖1]

引導學生探索其他解法

上述是我國古代數學家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據面積相等實現定理的證明. 教師可以提示學生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學生提供的證法有可能和歷史上大數學家的證法一致.

歷史上的經典證明方法展示

發現勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發現和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統計，現在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數學思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達哥拉斯的證法；（7）旋轉證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

基于上述分析，不難發現，歷史上的勾股定理證明方法很多，據統計，有400多種，向學生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優劣，而是為了豐富教與學的內容知識，這也是數學史融入數學教學重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學生在教與學上有所比較，以達到取長補短. 通過分析各種證法之不同，可以發現他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數學家進行對話，從而產生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認識到該如何呈現定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數學思想的發展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數學有更全面的觀照. 最后，基于數學史數學教學所追求的目標之一，正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣，因此，數學歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發掘才可能使我們滿載而歸.

問題的推廣

下面我們換個角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個直角邊長度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補”原理的應用

所謂“出入相補”原理，是指一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進行的，只是圖形的分合移補略有不同而已. “出入相補”原理是我國古代數學家發明的一個證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個證明來說明某些問題.

趙爽和達?芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問題：這兩種方法的聯系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯系]

可以看出，趙爽和達?芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補”原理. 這兩種來自不同時期、不同地域的方法背后有著更本質的聯系，正因為這種本質聯系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數學內部的一種聯系. 正如韋爾斯在《數學與聯想》一書中所說的：“這就是為什么數學強有力的一個理由. 數學家發現，兩個表面不同的問題實際上是相同的，因此他只要解決一個也就解決了另一個. 認識到一百萬個問題‘實質上’都是相同的，因此，你只要解決一個就解決了一百萬個. 事實上，這就是力量！”我們的數學讀本，應該多多向學生介紹這方面的內容，讓學生感受這種力量，去認識事物之間的聯系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應的兩個相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣：（習題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個半圓之間有什么關系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，此時顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實這個結論早在公元前479年就已經由古希臘數學家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣（習題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術》（第2卷問題8）中有一個與勾股定理類似的問題：將一個已知的平方數分為兩個平方數. 丟番圖在《算術》中以實例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨獨提到丟番圖的這一問題，是因為，大約16個世紀以后，正是在這一問題的啟發下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個讓整個數學界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術》時，做了如下批注：“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和. 我已找到了一個奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費馬這一猜想公之于世. 費馬究竟有沒有找到證明已成為數學史上的千古之謎. 從那時起，為了“補出”這條定理的證明，數學家們花費了三個多世紀的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數

不言而喻，所謂勾股數，是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數呢，方法如下.

1. 任取兩個正整數m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成一組勾股數.

2. 若勾股數組中的某一個數已經確定，可用如下方法確定另兩個數：首先觀察已知數是奇數還是偶數.

（1）若已知數是大于1的奇數，把它平方后拆成相鄰的兩個整數，那么奇數與這兩個整數構成一組勾股數.

（2）若已知數是大于2的偶數，把它除以2后再平方，然后把這個平方數分別減1和加1所得的兩個整數與這個偶數構成一組勾股數.

練習題：限于篇幅，僅列一題.

練習題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？

篇（7）

1 引言的設計

三種教科書在這一章的開始都有引言和題圖. 比如人教社版《數學》，放置了2002年國際數學家大會會場的照片，其中會徽非常醒目；照片旁邊有三段文字作為這一章的引言. 其中第一段有這么一句話：

后來人們進一步發現并證明了直角三角形三邊之間的關系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 你能發現這個關系嗎?

筆者認為這段話存在兩個問題. 第一，在引言部分就把結論明確地告訴學生，那么其后的“觀察”、“探究”和“猜想”還有什么意義?第二，把結論告訴學生后再問學生你能發現它嗎，同樣沒有任何意義. 就好象問一個已經吃好飯的人，你想吃飯嗎?

我們認為，引言可以提出一個具體的問題情境來導入本章的學習，也可以給出本章的學習目標讓學生明確這一章要學習什么. 但不可以把需要探究和猜想的結論展現在學生面前.

圖1

人教社版《數學》還有一處類似的錯誤，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人畫直角的方法來引入的，隨后配了一幅插圖(圖1). 但是令人沮喪的是，從穿著看，畫面中的人是古希臘人，而非古埃及人. 這個小錯誤對學生的數學學習也許不會產生大的影響，但是作為國家權威教科書出版單位，犯如此低級的錯誤也是不應該的.

2 定理的發現

數學教學要培養學生數學計算、數學論證乃至數學推斷等能力，勾股定理的教學正是一個恰當的例子. 不過，在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在師生行為的設計上有兩個難解的困惑：①通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系，因此教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生；②勾股定理的證明有難度，一般來說學生很難自行探究，尋得解決的方法.[2]教師通常是依據教科書來進行教學的，那么，我們來看一下教科書是如何設計的.

華師大版《數學》第48頁安排了“試一試”：

測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：

根據已經得到的數據，請猜想三邊的長度a、b、c之間的關系.

筆者認為，這個活動設計得非常不好. 為什么?一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數. 讓學生猜想三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關系，就已經不是十分容易的事(比如，學生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何況來猜想三個非整數之間的平方關系. 教科書這樣設計和處理，容易導致學生盲目的探究和盲目的猜想，在這“盲目”上浪費了不少時間，而且沒有多大意義和價值.

3 勾股定理是“發現”而非“發明”的

華師大版《數學》第55頁安排了“閱讀材料”：《勾股定理史話》. 其中有這樣一段話(下劃線為本文作者所加)：

人們對勾股定理的認識，經歷過一個從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區的現存文獻中都有記載，很難區分這個定理是誰最先發明的. 國外一般認為這個定理是畢達哥拉斯(Pythagoras)學派首先發現的，因而稱為畢達哥拉斯定理.

這里有兩處錯誤. 第一，勾股定理是“發現”還是“發明”的?我們知道，發明是創造，一種從無到有的過程；而發現是一種本來就有，從不認識到認識的過程. 那么，數學定理的證明方法，可以是一種從無到有的發明過程，而定理本身本來就存在，而后被人發現的. 教科書中一段話里對定理的產生使用了發明和發現這兩個詞語，就有一定矛盾和混亂. 第二，并不是因為畢達哥拉斯或其學派首先發現定理，而是因為在數學史上有明確記載，畢達哥拉斯或其學派首先證明該定理，才被稱為畢達哥拉斯定理的. 同樣的錯誤，我們可以在人教社版《數學》上看到，第74頁有個小標簽，上面寫著：

在西方，一般認為這個定理是畢達哥拉斯發現的，所以人們稱這個定理為畢達哥拉斯定理.

相比較而言，北師大版《數學》則相對比較準確. 第8頁有一則“讀一讀”：《勾股世界》. 最后一段話：

相傳兩千多年前，希臘的畢達哥拉斯學派首先證明了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.

4 問題情境應避免“人為”的創設

北師大版《數學》設置問題情境，用“旗桿問題”來引入新課題. 該問題是：

強大的臺風使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高?

對于這一問題，如果考慮該題的現實性和科學性，橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應該也不難測量(唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米). 所以這個問題的設計并不合理. 相對而言，教科書中的“梯子問題”在合理性上難以找到瑕疵. 比如華師大版《數學》第50頁在給出勾股定理后安排了例1：

如圖(圖略)，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB. (精確到0.01米)

這里，梯子的長度是容易測量的，BC的長度也是容易測量的，而垂直距離AB確實是難測量的. 因為難以測量，我們便求助于計算，求助于數學. 這樣就體現了數學是有用的.

我們再來看北師大版《數學》第9頁例1：

我方偵察員小王在距離東西公路400米處偵察，發現一輛敵方汽車在公路上疾駛. 他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎?

從情境的合理性和科學性角度考慮，這一題應該問題不大；但我們來看另外一題：

飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米. 飛機每時飛行多少千米?

這一題出現在修訂前的北師大版《數學》中，與前一題在本質上是一模一樣的. 如果考慮一下這個4000米和5000米是小男孩或旁觀者通過什么途徑測到的，就不難明白，為什么教科書修訂時把這一題改成前一題了.

我們再來看一題，北師大版《數學》第3節《螞蟻怎樣走最近》中安排了“隨堂練習”：

甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險. 某日早晨8：00甲先出發，他以6千米/時的速度向正東行走. 1時后乙出發，他以5千米/時的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多遠?”

我們在一本美國的幾何教材《發現幾何》第9.3節的練習B中看到了這道題目的原型[3]：

在火星正午時間，朗達?本德博士離開美國火星研究站，以60千米/時向東行進. 1小時后I.M.布賴特教授離開同一研究站，以50千米/時向北行進，去觀察極地冰帽. 火星時間下午3時，博士與教授相距多遠?答案精確到千米.

從這兩個問題的表述上看，《發現幾何》比北師大版《數學》更具想象和充滿冒險. 北師大版《數學》只把學生帶進沙漠，而《發現幾何》卻把學生帶到了火星. 北師大版《數學》是讓學生解決數學問題，或者說是“做數學”；而《發現幾何》不僅是“做數學”，更是“玩數學”，讓學生在一種輕松愉快的情境中解決數學問題，而這個過程是充滿樂趣的.

筆者這里舉了幾個例子，是想說明教科書編寫者在設計習題時采用不同的觀念，有的是為數學而問題，有的是為學生而問題，或者為生活而問題. 不同的觀念導致習題是“人為”還是“為人(學生)”的區別. 比如，“人為”的問題，為數學而問題，問題都是圍繞數學而編寫、杜撰的(前文那個“旗桿問題”就是為數學而數學). 從數學角度講，它也許是嚴謹的，完美的，但它也許遠離了學生的現實生活，也遠離了學生的想象世界. 事實上，教科書在編寫時，應該從學生出發，考慮問題情境的科學性和合理性，避免出現“人為”的題目.

5 趙爽的證明方法

趙爽如何利用弦圖證明勾股定理，在數學史研究中是有爭議的. 錢寶琮先生認為他采用代數方法，利用面積計算；而吳文俊、李文林先生則認為他采用幾何方法，利用出入相補原理. 事實上，代數觀點比較容易解釋趙爽的文字，但這種思維方式不太符合趙爽時代的人們的數學思維習慣.

我們看到，對這樣未形成定論的內容，教科書在處理時卻顯得有些草率.

人教社版《數學》在73頁，明確給出了趙爽利用弦圖證明勾股定理的基本思路，這是一種幾何方法，用出入相補原理來證明的.

華師大版《數學》在52頁安排了“讀一讀”，介紹了弦圖和趙爽；之前“試一試”使用拼圖和計算面積驗證(或者證明)了勾股定理. 課文中沒有明確給出趙爽的證明方法，但聯系上下文，容易讓學生認為趙爽是使用代數方法證明勾股定理.

北師大版《數學》第8頁和第9頁介紹了證明方法，將大正方形分割成四個直角三角形和一個正方形，然后通過計算面積驗證勾股定理. 雖然沒有明確指出趙爽的方法，但顯然編者認為他是采用代數方法. 其后12頁介紹了劉徽用出入相補原理證明勾股定理，但沒有從幾何方法介紹趙爽的弦圖.

我們認為，對于未有定論的內容，教科書就不應該草率地把某種觀點強加給學生，不可以對學生說，趙爽就是用這種代數方法證明勾股定理的，或者說趙爽就是用這種出入相補原理證明的. 數學教科書在涉及數學史時要特別注意一個問題，即在向學生展示史實，展示重要事件、重要人物與重要成果時，要尊重歷史. 尊重歷史就是要展現歷史的本來面目，不能歪曲歷史而誤導學生，對有爭議的以及沒有最終定論的題材應給學生必要的說明. [4]所以，比較合理的做法是，教科書先重點介紹其中一種證法，隨后簡單介紹另一種，同時聲明本書傾向于前一種觀點；而學生可以接受前一種，也可以是后一種觀點. 不過，不管是哪一種，學生都應該經過自己的思考，要有接受這一觀點的理由.

參考文獻

[1] 鮑建生，王潔，顧泠沅.聚焦課堂――課堂教學視頻案例的研究與制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.

篇（8）

關鍵詞：數學史 勾股定理 教材 比較研究

1、引言

數學史的教育價值以為大多數學者所承認，并越來越得到國內外數學教育界的重視。張奠宙先生曾經指出：在數學教育中，特別是中學的數學教學過程中，運用數學史知識是進行素質教育的重要方面。《全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）》也明確提出，數學是人類文化的重要組成部分，數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中，“教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料”。數學是積累的科學，它的發展并不合邏輯，數學發展的實際情況與我們學校里的教科書很不一致。根據歷史發生原理，學生對數學的理解與數學本身的發展有很大的相似性。因此，一套好的教材若要返璞歸真地反映知識的來龍去脈、思想方法的深刻、內涵以及科學文化的進步，就必須融入一些簡略的數學史以啟發思維、開闊視野、激發興趣。這就使得在教材的修訂與編寫過程中，合理設計數學史內容及其編排方式顯得尤為重要。本文僅對人民教育出版社和北京師范大學出版社初中數學教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數學史進行比較分析。

2、調查與分析

本文首先對人教版《義務教育課程標準實驗教科書數學（八年級下冊）》和北師大版《義務教育課程標準實驗教科書數學（八年級上冊）》勾股定理一章中的數學史進行了統計，具體見下表。

從上表可以看出，在勾股定理這一章中兩版本初中數學教材都呈現了大量的相關史料，但在數學史的呈現方式和選材上，又各有側重點。據上表，兩版本教材在本章各出現數學史14處、13處，主要分布在正文、習題、專題和閱讀材料中。（在人教版中是以“閱讀與思考”呈現相關數學史料的，而北師大版則以“讀一讀”這一欄目呈現史料，為統一起見，統稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在有關知識內容旁邊以框架的形式將某些內容作簡短介紹。）此外，北師大版第一節（探索勾股定理）和第三節（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統計時仍把這兩處歸為數學史料。

2.1 勾股定理證明的教材編排

2.1.1教材中對勾股定理的證明的設計模式

在正文中對勾股定理的證明上，兩版本教材采取了不一樣的處理形式。人教版在出示趙爽弦圖后，結合三組圖對弦圖的證明做了詳盡的解釋，直至得出最終答案：。而北師大版在正文兩處分別呈現了弦圖的兩種證法以及對青朱出入圖證法（無字證明）的解釋。與人教版不同的是，北師大版在這兩處更注重學生的實際動手操作。如在弦圖證明時，不像人教版那樣對弦圖證明進行一步一步的解釋，而是簡潔的介紹了用弦圖證明的“割補”思路，最后以“這里所有三角形和正方形的面積都能夠求出，相信同學們可以比較容易地驗證勾股定理了”這句話結束，接下來的工作是由學生自己完成，學生經過計算很容易就驗證了定理的正確性。在介紹“青朱出入圖”證法時，通過“你能將兩個小正方形中多出的部分剪下正好補到大正方形上去嗎？”設問，水到渠成讓學生自己動手、動腦、動嘴操作。在這之后還設計了“做一做”欄目，共4問，前三問主要是讓學生親身經歷拼“青朱出入圖”這一過程，這樣留給學生更多的是動手操作的機會；而最后一問 “利用五巧板，你還能通過怎樣的拼圖驗證勾股定理？與同伴交流”不僅為學生提供了實踐的機會，還能充分調動學生思維，有利于學生從多方、多角度思考問題；此外，學生在交流各自觀點的同時，不僅豐富了自身思維，看到自己與他人思路的區別，還有利于表達能力的發展。

2.1.2其他證明方法的編排模式

兩版本都不同形式的出現了勾股定理的幾種證明方法，除在正文中對趙爽弦圖證明做相關解釋外，人教版還以閱讀材料的形式呈現了勾股定理證明的另外三種方法（畢達哥拉斯證法、弦圖的另一種證法及總統證法）。由于“閱讀與思考”這一欄目用方框框起來，并且是放在勾股定理這一節最后，這就容易使教師和學生認為，這些內容是補充材料，可學可不學，可看可不看。再加之受現行考試制度和傳統考試文化的影響，大多數教師對這些內容要么略微提一下，要么是要求學生下來自己看，還有一部分教師根本就對這些內容視而不見，直接越過。作為學生來說，本來學習壓力就大，平時一本本做不完的練習冊，加之有的學生還要進行課外輔導。哪有時間去看這些考試不考的內容，就算是有時間，這個年齡階段的學生還想在這難得的空余里玩一會，做點平時想做但沒時間做的事情。據本人的了解，能主動去看這些內容的學生畢竟是少數。這樣以來，這些數學史對大多數學生來說就失去了其本身應有的地位和價值，難以發揮其所期待的育人功能。

與人教版的設計模式不同的是，北師大版除了在正文中介紹了弦圖的兩種證法和對青朱出入圖的解釋外，把勾股定理的另外三種證法（總統證法、達芬奇的實驗研究法以及畢達哥拉斯的證法）分別放在了不同小節的習題當中。這樣教師和學生就不得不重視這些數學史內容了，因為課后習題大都是教師先布置給學生做，最后教師再“處理”。暫且先不說這種設計模式是否發揮了數學史的真正價值。但從某種層面上說，教師和學生至少會被“逼著”關注這些內容。學生在做這些習題或當教師處理這些習題時，就會了解到證明勾股定理的其他證法，同時也有利于學生從多方面多角度看問題，有利于發散思維能力的培養。因此，從這一層面上可以說，在勾股定理證明法的編排模式上北師大版較人教版更為合理。

2.2其他內容的設計

人教版在章前圖文并茂，不僅呈現了2002年北京國際數學家大會的會標“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎上提出了兩個問題，進而交待了這一章所要學習的主要內容。這樣的設計不僅激起了學生的求知欲、好奇心，還能讓學生在學習新知識之前對本章要干啥有一個大概的了解，同時也便于學生在學習完這章后的自我評估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關于勾股定理說法的設計更為人性化。

兩版本教材在介紹數學家時，都是簡要的說明數學家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻，并沒有體現數學家遭遇的困惑、挫折、失敗的經歷。使學生覺得數學家所想到的定理是理所當然的，未能體現數學家在創作過程中斗爭、挫折以及數學家所經歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數學家時附有數學家的頭像（本章附有畢達哥拉斯圖像），這樣能喚起學生對數學家及數學史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據劉超的統計，在初中六本教材中人教版有五處附有數學家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。

3、幾點思考

3.1教材采用歷史名題進行引入，但是引入過于平淡，體現不出實際價值。

人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數學家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數學知識，而北師大版在第一、三節都是以實際問題情境引入數學內容的，但這兩處的情境都來源于數學歷史名題。兩版本在此對數學史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數學思想方法，數學史只是作為一個情景用來引出相關內容的，顯得過于平淡和簡單，也顯示不出實際的一個教學價值。這只是數學史融入教學的初級階段，但我們并不能說這種融入方式是低級的或是不好的。一方面，初級階段是數學史融入教學，進入高級階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發學習興趣、調動積極性；另一方面，教材的這種設計也體現了教材的靈活性和多樣性，便于教師在不同情況對內容的重新加工。因此，對這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨希望各相關領域人員對數學思想、方法做認真的思考，對數學史料進行加工和創造，深挖史料背后隱含的價值，充分發揮數學史的作用和價值。

3.2數學史與教材的整合與立足于學科本源，返璞歸真，適度形式化。

兩個版本教材中雖然說數學史料都比較豐厚翔實，但編排方式單一，多以成人的語言呈現出來，較為抽象，概括；在教材設計上又大多表現為閱讀與思考（選學內容），歷史圖片，數學家故事等形式，以至于多事在章末的閱讀材料形式出現居多。我覺得，數學史的內容的呈現方式應該是多樣化的，除了目前已有的形式外，還應結合學生的心理年齡特征，知識接受水平對數學史進行選擇，編排，比如卡通，連環畫等形式，也可以將數學游戲等編排進其中，這樣學生學習起來更加容易接受和容易理解，也更能實現數學史的教育價值。

3.3應加強與現在信息技術的相結合

現代信息技術的發展使得計算機已經成為數學文化與數學教育現代化之間的橋梁。《義務教育數學課程標準（修訂稿）》在基本理念中明確提出：“信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及教學方式產生了很大的影響。數學課程的設計要注意信息技術與課程內容的整合開發并向學生提供豐富的信息資源”。而兩版本教材除了讓學生自己上網搜索相關內容外（并沒有提供相關網站），并沒有涉及與信息技術有關的內容。而“勾股定理”作為幾乎是全世界中學都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，并且這些證法反映了東西方不同的文化，在教材中卻沒能與信息技術掛上鉤，是不是有點可惜。這應引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時注重相關數學史與信息技術的整合。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（修訂稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.1.

[2]馬復主編.義務教育課程標準實驗教科書（八年級上冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[3]林群主編.義務教育課程標準實驗教科書（八年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[4]張維忠，汪曉勤等.文化傳統與數學教育現代化[M].北京：北京大學出版社，2006.4.

[5]王亞輝編.數學史選講[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2011.1.

[6]羅新兵等.高中數學教材中數學史分布的特征和模式研究——以北師大版數學必修教材為例[J].數學教育學報，2012.2.

[7]劉超.人教版初中數學教材中數學史的調查分析[J].中學數學雜志，2011.6.

篇（9）

時鐘隨著指針的移動嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊行進的兵士,“分”是士官,“小時”是帶隊沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當你百無聊賴、胡思亂想的時候,請記住你掌上有千軍萬馬;你是他們的統帥。檢閱他們時,你不妨問問自己——他們是否在戰斗中發揮了最大的作用?

——菲·蔡·約翰遜

數學教學實質上是數學思維活動的教學,在數學教學中要充分調動學生的主體作用,注重教學過程,改變被動接受知識的局面,實現課堂教學素質化,才能真正提高課堂教學質量和效率。下面說說我在教學中的做法,通過這個例子來具體地說明數學課上如何提高課堂效率。

課例:《勾股定理的證明》

教學目標:勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的。它是直角三角形的一條非常重要的性質,是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系;它可以解決直角三角形中關于邊的計算問題,是解直角三角形的主要根據之一,在實際生活中用途很大。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力,通過實際分析、拼圖等活動,使學生獲得較為直觀的印象;通過聯系和比較,理解勾股定理,以便正確地進行運用。

例如,勾股定理證明教學過程中,教師可這樣實施:

一、故事引入,激發興趣

為了激發學生學習勾股定理的興趣,可以由下列故事引入:三千多年前有個叫商高的人對周公說:把一根直尺折成直角,兩端連接得到一個直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦等于5。

這樣引起學生的學習興趣,激發學生的求知欲。

教師緊接著問:是不是所有的直角三角形都有這個性質呢?

教師要善于激疑,使學生進入樂學狀態。這樣做將學生的注意力吸引到課堂上來,學生全神貫注地聽課,課堂效率得到提高。

二、自學教材,主動探究

教師將教材知識整合,制作成幻燈片,以此指導學生自學教材。通過自學感悟、理解新知,體現了學生的自主學習意識,鍛煉了學生主動探究知識的能力,養成了學生良好的自學習慣。

1.通過自主學習,教師設疑或學生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過自學,中等以上的學生基本都能掌握,這時能激發學生的表現欲。

2.通過合作探究,引導學生擺脫網格的限制,研究任意直角三角形三邊的數量關系。滲透由特殊到一般的思想方法。

3.教師引導學生按照要求進行拼圖,觀察并分析;(學生每人準備四個大小一樣的直角三角形)(1)這兩個圖形有什么特點?(2)你能寫出這兩個圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結論?

這時教師組織學生分組討論,調動全體學生的積極性,達到人人參與的效果,接著全班交流。先由某一組代表發言,說明本組對問題的理解程度,其他各組作評價和補充。教師及時進行富有啟發性的點撥,最后,師生共同歸納,形成一致意見,最終解決疑難。

三、鞏固練習,強化提高

1.出示練習,學生分組解答,并由學生總結解題規律。課堂教學中動靜結合,以免引起學生思維疲勞。

例1.某樓房三樓失火,消防員趕來救火,了解到每層樓高3米,消防員取來6.5米長的梯子,梯子的底部離墻基2.5米,請問消防員能否進入三樓滅火?

2.出示例1:學生試解,師生共同評價,以加深對例題的理解與運用。針對例題再次進行鞏固練習,進一步提高學生運用知識的能力,對練習中出現的情況可采取互評、互議的形式,在互評互議中出現的具有代表性的問題,教師可以采取全班討論的形式予以解決,以此突出教學重點。

四、歸納總結,練習反饋

引導學生對知識要點進行總結,梳理學習思路。分發自我反饋練習,學生獨立完成。

五、課后作業

1.課本第81頁1、2、3題。

2.通過報刊、資料或上網查閱中外名人對勾股定理的證明方法以及勾股定理的發展史。

教學反思:本節課教學目標明確,重點突出,注重對知識形成過程的教學。但是在準備這節課時還是不夠充分,比如引例比較簡單,可以適當增加。在本節課后,我又搜集了一些關于勾股定理的典故,充實本節課的內容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人,也知道這一定理的特例,也就是勾3、股4、弦5,并用它來測定直角,之后才漸漸推廣。

2.金字塔的底部,四正四方,正對準東西南北,可見方向測得很準,四角又是嚴格的直角。而要量得直角,當然可以采用作垂直線的方法,但是如果將勾股定理反過來用,也就是說:只要三角形的三邊是3、4、5,或者符合的公式,那么弦邊對面的角一定是直角。

3.到了公元前540年,希臘數學家畢達哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5,或者是5、12、13,他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個規律?反過來,三邊符合這個規律的,是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子,結果都對這兩個問題作了肯定的回答。他非常高興,殺了一百頭牛來祝賀。以后,西方人就將這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”。

篇（10）

數學概念、數學定理（公式、法則等）是數學思維的細胞，是學生學習數學知識的基礎，也是數學思維的起點，在數學教學中具有重要的地位.數學概念和數學定理（公式、法則等）的形成過程所蘊含的數學家的思想方法、思維方法及研究方法，更是數學學習的精髓所在.在數學定理教學中，對數學定理的形成過程進行精心設計，將凝結在數學定理中的數學家的觀察、試驗、歸納、概括、推理與證明等思維活動打開，并設計一定的載體（如教學情境、教師講解、學生探究和反思、變式訓練等），用以展開這些數學思維活動，使得學生的學習思維與數學家的思維同步，并逐步使其思維結構與數學家相似，讓學生在體驗數學家思維活動的過程中提高數學素養，發展創造性思維能力，這是數學定理教學的關鍵所在.下面談談筆者對數學定理（公式、法則等）教學的淺見.

一、強調數學定理（公式、法則等）的發現過程

在傳統的接受性學習中，學習數學往往以定論的形式直接呈現出來，學生學習數學定理（公式、法則等）是在記定理、背定理，往往看不到數學定理（公式、法則等）的發現過程，只看到完美的結論，正像波利亞所說：“只給出規則而不講理由，則干巴巴的規則會很快被遺忘.”其實，數學家的發現過程是迂回曲折的，他們的思維活動通常是從具體的背景材料出發，通過觀察、試驗、類比、歸納等一套合情推理，提出需要證明的數學猜想.

在數學定理教學中，模擬數學家的思維活動，引導學生進行“似真性”的發現，讓學生體會到尋求真理的興趣和喜悅，這是數學教師主導作用之所在.

例如：在三角形全等的“邊角邊”條件這節課的教學中，筆者創設了下面的問題情境來引導學生探究發現.

問題1：如果已知一個三角形的兩邊及一個內角，那么它有幾種可能情況？

同學們經片刻的思考與交流后得出兩種：（1）兩邊及其夾角，（2）兩邊及一邊的對角.針對學生答出的這兩個問題，教師提出對這兩個問題進行探究.

探究1：先畫出一個ABC，再畫出一個A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠A = ∠A′（即保證兩邊和它們的夾角對應相等），把畫好的A′B′C′剪下，放到ABC上，它們全等嗎？

探究2：先畫出一個ABC，再畫出A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠B = ∠B′（即保證兩邊和其中一邊的對角對應相等），把畫好的A′B′C′剪下，放到ABC上，它們全等嗎？

先由學生自己動手，利用直尺、三角尺、圓規等工具，對以上兩個問題進行實驗操作，并探究全等三角形的條件.在學生個人探究的基礎上再全班交流，最后得到：

兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，所以它不能作為判定兩個三角形全等的方法；

兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，可作為判定兩個三角形全等的方法.

上面的探究活動，學生通過動手操作，為數學定理的學習積累活動經驗，在“操作”中探究，在過程中感悟，在體驗和感悟中理解數學定理的意義.這樣學習的數學定理在認知結構中才會有所依托，才會鞏固.

二、突出數學定理證明思路的探索過程

對數學定理（公式、法則等）的證明，如果僅用演繹推理，按教科書上的格式敘述過程，這就降低了教學的要求.“直截了當”固然節約了時間，但對學生來說卻缺乏一個完整的認識過程.數學家真實的思維過程，常常被最終的簡潔掩蓋著，我們雖然不知道，但是我們可以仿真，作出示范.在思路分析中，應教給學生如何聯想、探索、猜想、推理、轉化，特別是分析思維受阻時，如何合理改變心向，變換策略，另辟蹊徑，從而到達目的的思維過程.同時還應把學生有價值的解題思路發展下去.為了使這種思維過程卓有成效，教師必須對教材進行“再創造”.

例如，對于如何證明“勾股定理的逆定理”的教學，當學生通過猜想得到：“如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.”接下來證明猜想的正確性也就變成了學生自發的需要.先猜，于是我先讓學生說說證明的思路.有的同學說，是根據勾股定理，因為a2 + b2 = c2，所以這個三角形是直角三角形.此種說法馬上遭到部分同學的反對，理由是：在勾股定理中，題設是直角三角形，而在要證明猜想的題設中沒有告訴我們ABC是直角三角形，所以不能應用勾股定理.這時一名學生站起來說他會證，并到黑板上板演解題過程，即如圖1，作一個RtA′B′C′，使∠C′ = 90°，C′A′ = a，C′B′ = b，由題設，得A′B′ = c，那么ABC ≌ A′B′C′，所以∠C = 90°，所以ABC是直角三角形.

此時老師追問這名同學你是怎樣想到這種方法的，這名同學說他是從課本上看的.老師繼續追問這種證明的方法是什么方法. 全班大部分同學回答說是構造法，上節課證明勾股定理也是用構造法.這時老師指出：同學們說得好，構造法是一種重要的數學方法，通過這兩節課的學習，大家對它有了初步的認識，今后在解題中要學會靈活運用.并提問全班同學：本題證明中用構造直角三角形的方法很妙，但思路是如何想到的啊？當同學們都在靜靜思考的時候，一名同學談了自己的想法，他說：“我是這樣想的：前面已學習過勾股定理，而問題1中的已知條件a2 + b2 = c2類似于勾股定理中的結論.如果想要應用已有知識，首先想到的是應用勾股定理，而要應用勾股定理就必須得有直角三角形這個條件，所以想到要構造一個直角三角形.”至此，學生完全明白猜想結論的證明及為什么這樣去證明.

用構造的方法證明“勾股定理的逆定理”是很有思考性的問題，怎樣構造？為什么這樣構造？你是怎樣想到的？等等，這對培養學生的數學思維能力極為有益.如果老師很突然地構造了直角三角形，按教科書宣讀證明過程，就降低了教學的要求.長此以往，“機械學習”也在所難免.

三、重視數學定理（公式、法則、性質等）的引申和推廣

數學概念的完整性和數學模型的普遍性是數學探索的主要內容，對數學定理進行引申和推廣，也是數學家常用的研究方法.數學研究的很多問題都是某種形式的推廣，將數學定理進行引申和推廣，既符合數學知識本身發展的規律，也符合學生個體心理發展的規律.

例如，學習了三角形的中位線定理后，可進一步引導學生聯想：如果將條件“三角形”改成“梯形”，那么又有什么新的結論？使學生的思維跨入新的高度.

又如，當學生學習了平行線分線段成比例定理“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等”后，接著，教師繼續引導學生探究這個定理的推廣和特殊情況，即定理是否存在推廣情況， 是否存在特殊情形，先讓學生獨立思考，再合作交流得到：

變式1：一組平行線（平行線族）截兩條直線，所得的對應線段的比相等.

變式3：如圖3中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段的比相等.

變式4：如圖4中的實線部分，若AB = BC，AE = DE，則BE = ■CD（三角形中位線定理對應的基本圖形）.

變式5：如圖5中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對應線段的比相等.

世間萬物都在變化之中，但只說事物在變，不能說明什么問題，科學的任務是要找出變化中不變的規律.于是在得到上面的各種變式后，教師繼續提出問題讓學生思考：在上面的各種變式中，其不變的規律是什么？

學生思考后認為， 在“平行線”的條件下， 通過直線移動得到各種變式圖形，但其“對應的線段比相等”是不變的.

學生經歷對數學定理（公式、法則等）進行引申和推廣的過程，不但使他們也像數學家一樣經歷了發明創造的過程， 而且使他們在理解知識的基礎上，把學到的知識轉化為能力.同時還使他們體驗到新知識是如何從已知知識逐漸演變或發展而來的，從而理解知識的來龍去脈，形成良好的認知結構.