等腰三角形的性質匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇等腰三角形的性質范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

例1(2009年黃岡)在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50，則∠B等于__________度.

解析:由于頂角可能是銳角,也可能是鈍角,所以應分兩種情況.如圖(1),由于AB=AC,由等腰三角形的性質可知∠B=∠C,又因為DEAB,所以∠AED=90o,而∠1=50o,所以可求得∠A=40o.根據三角形的內角和定理,可得2∠B+40o=180o,于是可求得∠B=70o.如圖(2),∠B=∠C,∠1=50o,又因為DEAB,所以∠DAB=40o,再根據三角形的外角定理即可求得∠B=20o.綜合兩種情況,可知∠B等于700

例2(2009年懷化)如圖,在RtABC中,∠B=90o,ED是AC的垂直平分線,交AC于點D,交BC于點E.已知∠BAE=10o,則∠C的度數為()

A.30oB.40oC.50oD.60o

解析:由于ED是AC的垂直平分線,所以EA=EC,所以∠1=∠C(等邊對等角);由于∠B=90o ,∠BAE=10o,所以∠3=80o,再由三角形的外角定理可知∠C=∠1=0o=40o.故答案是B.

說明:(1)幾何計算最關鍵的是找出量與量的關系,有時可用列方程(組)的辦法來解決;(2)在等腰三角形中求角度的計算,應牢記“等邊對等角”這一性質.

考點2 求線段的長

例3(2009年朝陽)如圖,ABC是等邊三角形,點D是BC邊上任意一點,DEAB于點E,DFAC于點F.若BC=2,則DE+DF=________.

解析:要求的是DE+DF的長,應設法把兩段轉化成一段.過B點作AC的垂線,垂足設為G,過D點作BG的垂線,垂足設為H,則四邊形DFGH為矩形.接下去可考慮證明BDE和DBH全等:∠BED=∠DHB=90o,∠BDH=∠C=∠DBE,BD=DB,所以BDE≌DBH;然后利用三角形全等的性質可得DE=BH,這樣即可把DE+DF轉化成線段BG的長.而BG是等邊三角形的高,根據BC=2,以及“三線合一”的性質,利用勾股定理即可求出BG,BG==.故DE+DF=.

例4(2009年牡丹江)有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊長分別為6m,8m.現在要將綠地擴充成等腰三角形,且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形,求擴充后等腰三角形綠地的周長.

解析:在RtABC中,∠ACB=90o,AC=8,BC=6;由勾股定理得:AB=10,擴充部分為RtACD.擴充成等腰ABD應分以下三種情況:

①如圖1,當AB=AD=10時,可求得CD=CB=6;得ABD的周長為32m.

②如圖2,當AB=BD=10時,可求得CD=4.

由勾股定理得:AD=4,得ABD的周長為(20+4)m.

③如圖3,當AB為底時,設AD=BD=x,則CD=x-6,

由勾股定理得:x=,得ABD的周長為26m.

說明:(1)“等邊對等角”適用的條件是在同一個三角形中,在不同三角形中不能用;(2)“三線合一”指的是底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合,對于腰上的高、腰上的中線,底角的平分線則不成立.

考點3 與等腰三角形有關的證明

例5(2009年衡陽)如圖,ABC中,AB=AC,AD、AE分別是∠BAC和∠BAC外角的平分線,BEAE.

(1)求證:DAAE;

(2)試判斷AB與DE是否相等?并證明你的結論.

解析:(1)由于AD、AE分別是∠BAC和∠BAC外角的平分線,∠BAC+∠BAF=180o,可推出∠BAD+∠BAE=(∠BAC+∠BAF)=80o=90o,即∠DAE=90o,于是可證得DAAE;(2)從觀察分析來看,可猜想四邊形AEBD是矩形,然后進行推理,證明這個結論,在此基礎上即可得出AB=DE.

例6(2009年定西)如圖,ACB和ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90，D為AB邊上一點,求證:

篇（2）

閱讀與思考

等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質，這些性質為角度的計算、線段相等、直線位置關系的證明等問題提供了新的理論依據．因此，在解與等腰三角形相關的問題時，除了要運用全等三角形知識方法外，又不能囿于全等三角形，應善于利用等腰三角形的性質探求新的解題途徑，應熟悉以下基本圖形、基本結論．

⑴

圖1中，，，．

⑵

圖2中，只要下述四個條件：

①；②；③；④中任意兩個成立，就可以推出其余兩個成立．

B

C

A

D

圖1

A

D

B

C

1

2

圖2

例題與求解

【例1】如圖，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，

則∠A=___________．

（五城市聯賽試題）

解題思路：圖中有很多相關的角，用∠A的代數式表示這些角，建立關于∠A的等式．

A

B

C

D

E

【例2】如圖，在ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．

（安徽省競賽試題）

解題思路：∠ADB與∠CDF對應的三角形不全等，因此，需構造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線．

A

B

C

D

E

F

【例3】如圖，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，又AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．

（北京市競賽試題）

解題思路：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應作輔助線補全圖形，構造全等三角形、等腰三角形．

A

E

B

C

D

【例4】如圖，在ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為ABC內一點，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度數．

（北京市競賽試題）

B

C

M

A

B

C

M

A

圖3

N

解題思路：作等腰ABC的對稱軸(如圖1)，通過計算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB為一邊，向點C所在的一側作等邊ABN，連結CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點B所在的一側作等邊ACN，連結BN(如圖3)．

B

C

M

A

圖1

D

O

B

C

M

A

圖2

N

【例5】如圖，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結MN，形成一個三角形．求證：AMN的周長等于2．

（天津市競賽試題）

解題思路：欲證AMN的周長等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補短法證明．

B

A

C

D

N

M

【例6】如圖，ABC中，∠ABC=460，D是BC邊上一點，DC=AB，∠DAB=210，試確定∠CAD的度數．

（北京市競賽試題）

解題思路：解本題的關鍵是利用DC=AB這一條件．

B

D

C

A

能力訓練

A級

1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個等腰三角形的底角為_____________．

2．如圖，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=_____________．

3．如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各取一點P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O，則

∠BOQ=____________.

4．如圖，在ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延長線取點D，使AD=AB，則D，B兩點之間的距離是____________．

(第2題)

B

A

C

D

E

F

M

N

A

B

C

Q

P

O

(第3題)

A

B

C

D

(第4題)

5．如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC上一點，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（

）

A．900-∠A

B．900-∠A

C．1800-∠A

D．450-∠A

6．如圖，在ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=（

）

A．600

B．450

C．300

D．不確定

（安徽省競賽試題）

A

C

B

E

F

第5題圖

第6題圖

7．ABC的一個內角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（

）

A．1400

B．800或1000

C．1000或1400

D．800或1400

(“希望杯”邀請賽試題)

8．三角形三邊長，，滿足，則三角形一定是（

）

A．等邊三角形

B．以為底邊的等腰三角形

C．以為底邊的等腰三角形

D．等腰三角形

（北京市競賽試題）

9．如圖，在ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長線上的點，且BD=CE，連結DE交BC于G，求證：DG=EG．

（湖北省競賽試題）

A

B

C

D

G

E

10．如圖，在ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CEBE，求證：CE=BD．

（江蘇省競賽試題）

A

B

C

D

E

11．已知RtABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊中點，∠EDF=900，將∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長線)于E、F，當∠EDF繞D點旋轉到DEAC于E時(如圖1)，易證：SDEF+SCEF=SABC，當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

（牡丹江市中考試題）

A

B

C

A

B

C

A

B

C

E

D

F

E

D

F

D

F

圖1

圖2

圖3

12．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O為ABC內一點，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度數．

（天津市競賽試題）

B級

1．如圖，在ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則∠MNP=_________．

A

B

C

N

M

P

(第1題)

A

B

C

P

E

F

(第2題)

A

B

C

N

M

(第3題)

2．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下4個結論：①AE=CF；②EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=SABC；④EF=AP．當∠EPF在ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A，B重合)．上述結論正確的是____________．

（蘇州市中考試題）

3．如圖，在ABC中，AB=BC，M，N為BC邊上兩點，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，則∠MAC的度數是____________．

4．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（

）

A．800

B．500

C．400

D．200

A

(第4題)

B

C

D

(第5題)

A

B

C

D

A

B

D

E

C

M

(第6題)

5．如圖，在ABC中，∠BAC=1200，ADBC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是（

）

A．200

B．250

C．300

D．450

6．如圖，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延長線于M，連CD，下列四個結論：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正確結論的個數為（

）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

7．如圖，已知ABC為等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，并且使AE=BD，連結CE、DE，求證：CE=DE．

A

B

C

D

E

8．如圖，ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又ABC′、A′BC、AB′C都是ABC外的等邊三角形，而點D在AC上，且BC=DC．

⑴

證明：C′BD≌B′DC；

⑵

證明：AC′D≌DB′A；

⑶

對ABC、ABC′、A′BC、AB′C，從面積大小關系上，你能得出什么結論？

（江蘇省競賽試題）

A

B

C

D

A′

B′

C′

9．在ABC中，已知AB=AC，且過ABC某一頂點的直線可將ABC分成兩個等腰三角形，試求ABC各內角的度數．

（江蘇省揚州中學測試題）

10．如圖，在ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求證：CD=BD．

A

B

C

篇（3）

1、等腰直角三角形的性質：

等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一個角是直角），也是特殊的直角三角形（兩條直角邊等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性質（如三線合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理等）。

當然，等腰直角三角形同樣具有一般三角形的性質，如正弦定理、余弦定理、角平分線定理、中線定理等。等腰直角三角形三邊比例為

2、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質，同時又具有所有直角三角形的性質。

（來源：文章屋網 ）

篇（4）

師：這是一個什么三角形？為什么？

生：這是等腰三角形，因為AB=AC.

師：你怎么知道AB和AC的長度相等呢？

生1：因為ABD≌ACD，AB與AC是對應邊，所以AB=AC.

生2：因為AB與AC重合，所以它們的長度相等。

師：很好，請你們觀察圖形，折痕左右兩邊重合嗎？等腰三角形是軸對稱圖形嗎？

生：折痕左右兩邊重合，等腰三角形是軸對稱圖形。

師：你認識等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角嗎？（展示教具，學生回答）雖然前面我們學習了等腰三角形的知識，但是有關它的性質、判定都沒有涉及，這節課我們進一步學習等腰三角形。（板書：等腰三角形）

【評析】教學伊始，執教老師就創設情境，讓學生觀察老師的操作過程，得到研究對象――等腰三角形后，再請學生觀察圖形，回顧等腰三角形的相關概念如腰、底邊、頂角、底角以及等腰三角形的對稱性，引導學生學會觀察并發現問題，讓學生感受到重合即相等，為后面探究等腰三角形的性質奠定基礎。

二、實踐操作，發現性質

活動2：請學生用紙剪出一個等腰三角形。

師：仔細觀察剪好的等腰三角形，你發現這個等腰三角形有哪些線段相等？哪些角相等？

生獨立觀察，指出等腰三角形中相等的線段和相等的角。

師：請同桌之間互相交換等腰三角形，再次觀察，你發現等腰三角形有哪些線段相等？哪些角相等？說一說這些線段和角在等腰三角形中的名稱。

生1：等腰三角形的兩條腰相等。

生2：等腰三角形的兩個底角相等。

教師板書，等腰三角形的性質1：等腰三角形的兩個底角相等。簡寫為：等邊對等角。

【評析】教師讓學生通過操作、觀察、發現、歸納，得出等腰三角形的兩個底角相等這一性質，體現了學生的學習主體地位。這樣做有利于學生從研究一個等腰三角形拓展到其他等腰三角形，由特殊到一般，從而發現等腰三角形的特征，歸納得出等腰三角形的性質1：等腰三角形的兩個底角相等。

三、關注折痕，引出三線

教師在剪好的等腰三角形的折痕上畫一條虛線（見圖2），請學生仔細觀察等腰三角形，注意折痕，并思考還能發現哪些線段相等？哪些角相等？

學生先觀察圖形，然后分小組討論，最后展示分享結果。

生1：BD=CD.

生2：∠BAD=∠CAD.

生3：∠ADB=∠ADC.

師：假如BD=CD，那么AD與BC是什么關系呢？

生：AD是BC的中線。

師補充說明AD是等腰三角形底邊BC的中線。

師：剛才有位同學說∠BAD=∠CAD，想一想，AD與∠BAC是什么關系？

生：AD是∠BAC的平分線。

師補充說明AD是等腰三角形頂角∠BAC的平分線。

師：請同學們思考∠ADB=∠ADC等于多少度？為什么？

生：∠ADB=∠ADC=90°，因為∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC，所以∠ADB=∠ADC=90°.

師：AD與BC是什么關系？

生4：AD是BC邊上的高。

生5：AD是等腰三角形底邊BC上的高。

師：我們在表達線段的關系時要準確、完整，綜上所述，AD是等腰三角形的什么？

生：AD是等腰三角形底邊BC上的中線，是等腰三角形頂角∠BAC的平分線，是等腰三角形底邊BC上的高。

【評析】教師讓學生觀察、發現，然后準確全面地歸納出等腰三角形的性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡稱“三線合一”。

四、推理證明，驗證性質

題目：利用實驗操作的方法，我們發現并概括得出等腰三角形的性質1：等腰三角形的兩個底角相等。你能運用邏輯推理來證明這個命題嗎？

生：根據命題，我們可以畫出圖形（見圖3），寫出已知、求證。

已知：在ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C

教師引導學生思考：結合所畫的圖形，你認為證明兩個底角相等的思路是什么？如何在一個等腰三角形中構造出兩個全等三角形？從剪圖、折紙的過程中你能夠獲得什么啟發？

生1：我認為可以畫一條輔助線（見圖4），把三角形ABC分為兩個三角形，通過證明兩個三角形全等，可以得到∠B=∠C.

證明：作底邊BC的中線AD，在ABD與ACD中，

因為：AB=AC

BD=CD

AD=AD

所以：ABD≌ACD（SSS）

∠B=∠C

師：這位同學使用的方法很正確，思路清晰，板書規范。請你們再想一想，還有別的證明方法嗎？請結合圖形說明你的思路。

生2：我的思路是作底邊BC上的高AD，然后運用“HL”證明直角三角形ADB與直角三角形ADC全等，從而得到∠B=∠C.

生3：我的思路是作頂角∠BAC的平分線AD，然后運用“SAS”證明ABD與ACD全等，從而得到∠B=∠C.

師：這3位同學的證明思路、推理方法都是對的。通過學習等腰三角形的性質，我們又掌握了證明兩個角相等、兩條線段相等以及線段互相垂直關系的新方法。

【評析】教師讓學生體驗證明兩個角相等到證明兩個三角形全等的過程，了解添加輔助線與解決問題思路的相關性，進一步理解等腰三角形的性質及意義――它既是三角形全等知識的運用和延續，又是證明兩個角相等、兩條線段相等、線段垂直關系的更為簡捷的途徑和方法。

五、解讀性質，注重表達

師：等腰三角形性質2的“三線合一”是指什么？對此，我們可以將其分解為下面3個結論：①等腰三角形的頂角平分線也是底邊上的中線和高；②等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線；③等腰三角形底邊上的高也是頂角平分線和底邊上的中線。

師： AB=AC，∠BAD=∠CAD

BD=CD，ADBC

請同學們用符號語言表達第②、③兩個結論。

生1： AB=AC，BD=CD

ADBC，∠BAD=∠CAD

生2： AB=AC，ADBC

∠BAD=∠CAD，BD=CD

【評析】教師讓學生在反復比較的過程中概括得出等腰三角形共同的、本質的特征，進一步培養了學生運用數學語言符號進行表達的能力，使學生真正理解“三線合一”的含義。

六、學以致用，鞏固新知

（一）填空。

1.如圖5，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，則

∠B= .

2.如圖6，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，則

∠A= .

（二）自制水平儀。教師選用教學時用的等腰三角板一個，鉛垂一個，1米長的細繩一根，展示：用水平儀測量講臺是否處于水平狀態，請學生說明測量時用到了什么數學知識？學生回答，相互補充，并說明理由。

【評析】教師設計角度計算題，學生需要綜合運用等腰三角形、三角形的內角和等知識解決問題，這樣做有利于學生進一步掌握等腰三角形的性質1，同時引導學生將與角有關的知識系統化，有助于學生優化知識結構。此外，教師設計活動操作題，能夠讓學生體會到數學知識在生活中的實際應用，體現了學習數學的價值。

七、學會總結，提高更快

師：我們是如何探究等腰三角形的性質呢？

生：動手操作，通過觀察、發現、歸納性質，最后證明性質。

師：你學到了哪些證明線段相等或角相等的方法？

生1：在同一個三角形中，相等的邊所對應的角相等。

生2：根據“三線合一”的性質，等腰三角形底邊上的高（或頂角平分線）也是底邊上的中線，從而有線段相等。

生3：根據“三線合一”的性質，等腰三角形底邊上的高（或底邊上的中線）也是頂角平分線，從而有角相等。

【評析】通過小結，學生掌握了本節課所學的核心知識――等腰三角形的性質及應用。

【總評】這節課，學生在學習了三角形的基本概念、全等三角形和軸對稱知識的基礎上，進一步研究特殊的三角形――等腰三角形。學習目標是：探索并證明等腰三角形的兩個性質；能夠利用等腰三角形的性質證明兩個角相等或兩條線段相等；結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用。

篇（5）

（一）教學知識點

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性質．

3．等腰三角形的概念及性質的應用．

1．經歷作（畫）出等腰三角形的過程，從軸對稱的角度去體會等腰三角形的特點．

2．探索并掌握等腰三角形的性質．

（三）情感與價值觀要求

通過學生的操作和思考，使學生掌握等腰三角形的相關概念，并在探究等腰三角形性質的過程中培養學生認真思考的習慣．

教學重點

1．等腰三角形的概念及性質．

2．等腰三角形性質的應用．

教學難點

等腰三角形三線合一的性質的理解及其應用．

教學方法

探究歸納法．

教具準備

師：多媒體課件、投影儀；

生：硬紙、剪刀．

教學過程

Ⅰ．提出問題，創設情境

[師]在前面的學習中，我們認識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的性質，并且能夠作出一個簡面圖形關于某一直線的軸對稱圖形，還能夠通過軸對稱變換來設計一些美麗的圖案．這節課我們就是從軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形．來研究：①三角形是軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？

[生]有的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是．

[師]那什么樣的三角形是軸對稱圖形？

[生]滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對折后兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形．

[師]很好，我們這節課就來認識一種成軸對稱圖形的三角形──等腰三角形．

Ⅱ．導入新課

[師]同學們通過自己的思考來做一個等腰三角形．

作一條直線L，在L上取點A，在L外取點B，作出點B關于直線L的對稱點C，連結AB、BC、CA，則可得到一個等腰三角形．

[生乙]在甲同學的做法中，A點可以取直線L上的任意一點．

[師]對，按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形．現在同學們拿出自己準備的硬紙和剪刀，按自己設計的方法，也可以用課本P138探究中的方法，剪出一個等腰三角形．

……

[師]按照我們的做法，可以得到等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．同學們在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角．

[師]有了上述概念，同學們來想一想．

（演示課件）

1．等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸．

2．等腰三角形的兩底角有什么關系？

3．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？

4．底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？

[生甲]等腰三角形是軸對稱圖形．它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．因為等腰三角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對折三角形便知：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．

[師]同學們把自己做的等腰三角形進行折疊，找出它的對稱軸，并看它的兩個底角有什么關系．

[生乙]我把自己做的等腰三角形折疊后，發現等腰三角形的兩個底角相等．

[生丙]我把等腰三角形折疊，使兩腰重合，這樣頂角平分線兩旁的部分就可以重合，所以可以驗證等腰三角形的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．

[生丁]我把等腰三角形沿底邊上的中線對折，可以看到它兩旁的部分互相重合，說明底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸．

[生戊]老師，我發現底邊上的高所在的直線也是等腰三角形的對稱軸．

[師]你們說的是同一條直線嗎？大家來動手折疊、觀察．

[生齊聲]它們是同一條直線．

[師]很好．現在同學們來歸納等腰三角形的性質．

[生]我沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發現它兩旁的部分互相重合，由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．

[師]很好，大家看屏幕．

（演示課件）

等腰三角形的性質：

1．等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．

2．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．

[師]由上面折疊的過程獲得啟發，我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等來證明這些性質．同學們現在就動手來寫出這些證明過程）．

（投影儀演示學生證明過程）

[生甲]如右圖，在ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD，因為

所以BAD≌CAD（SSS）．

所以∠B=∠C．

[生乙]如右圖，在ABC中，AB=AC，作頂角∠BAC的角平分線AD，因為

所以BAD≌CAD．

所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．

[師]很好，甲、乙兩同學給出了等腰三角形兩個性質的證明，過程也寫得很條理、很規范．下面我們來看大屏幕．

（演示課件）

[例1]如圖，在ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，

求：ABC各角的度數．

[師]同學們先思考一下，我們再來分析這個題．

[生]根據等邊對等角的性質，我們可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形內角和為180°，就可求出ABC的三個內角．

[師]這位同學分析得很好，對我們以前學過的定理也很熟悉．如果我們在解的過程中把∠A設為x的話，那么∠ABC、∠C都可以用x來表示，這樣過程就更簡捷．

（課件演示）

[例]因為AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD（等邊對等角）．

設∠A=x，則

∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[師]下面我們通過練習來鞏固這節課所學的知識．

Ⅲ．隨堂練習

（一）課本P141練習1、2、3．

練習

1．如下圖，在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數．

答案：（1）72°（2）30°

2．如右圖，ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底邊BC上的高，標出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度數，圖中有哪些相等線段？

答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3．如右圖，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數．

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

（二）閱讀課本P138～P140，然后小結．

Ⅳ．課時小結

這節課我們主要探討了等腰三角形的性質，并對性質作了簡單的應用．等腰三角形是軸對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角），等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．

我們通過這節課的學習，首先就是要理解并掌握這些性質，并且能夠靈活應用它們．

Ⅴ．課后作業

（一）課本P147─1、3、4、8題．

（二）1．預習課本P141～P143．

2．預習提綱：等腰三角形的判定．

Ⅵ．活動與探究

如右圖，在ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E．

求證：AE=CE．

過程：通過分析、討論，讓學生進一步了解全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質．

結果：

證明：延長CD交AB的延長線于P，如右圖，在ADP和ADC中

ADP≌ADC．

∠P=∠ACD．

又DE∥AP，

∠4=∠P．

∠4=∠ACD．

DE=EC．

同理可證：AE=DE．

AE=CE．

板書設計

§14．3．1．1等腰三角形（一）

一、設計方案作出一個等腰三角形

二、等腰三角形性質

1．等邊對等角

2．三線合一

三、例題分析

四、隨堂練習

五、課時小結

六、課后作業

備課資料

參考練習

一、選擇題

1．如果ABC是軸對稱圖形，則它的對稱軸一定是（）

A．某一條邊上的高;B．某一條邊上的中線

C．平分一角和這個角對邊的直線;D．某一個角的平分線

2．等腰三角形的一個外角是100°，它的頂角的度數是（）

A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°

答案：1．C2．C

二、已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm，并且它的周長為16cm．

求這個等腰三角形的邊長．

解：設三角形的底邊長為xcm，則其腰長為（x+2）cm，根據題意，得

篇（6）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

等腰三角形的邊、角問題是初中數學教材中的重點內容，在運用其性質解決關于等腰三角形中的邊角問題時由于題目繁多，學生總覺得困難，尤其是學生在遇到等腰三角形“邊角計算問題”，“等腰三角形的各邊的取值范圍”和等腰三角形“三線合一”問題時經常會出現這樣和那樣的問題，作為教師覺得頭痛，同時再加上等腰三角形的底邊垂直平分線和對稱軸之后，這樣就出現了“五線合一”，學生更覺得糊涂分不清了。

1有關等腰三角形的邊角計算的討論問題

1.1等腰三角形的邊的問題

（1）已知等腰三角形的一邊長為5cm，另一邊長為9 cm，則它的周長為多少？

（2）已知等腰三角形的一邊長為9cm，另一邊長為4 cm，則它的周長為多少？

分析時要分類考慮，是否構成三角形，若構成在求周長，否則就沒有。

第（1）題：5、5、9或5、9、9都能構成等腰三角形，所以周長為19 cm或23 cm；

第（2）題：4、4、9構不成三角形，而4、9、9能夠成等腰三角形，此周長為22 cm。

（3）等腰三角形的一個角為400，它的另外兩個角為多少？

（4）等腰三角形的一個角為1000，它的另外兩個角為多少？

分析時也要分類考慮：

第3題：當400為頂角時，另外兩個角分別為700，700；當400為底角時，另外兩個角為400，1000。

第4題：當1000為頂角時，另外兩個角分別為400，400；當1000為底角時，就構不成三角形。

1.2如何確定“等腰三角形的各邊的取值范圍”的問題

1.2.1已知等腰三角形的周長，如何確定腰長和底邊長的取值范圍

為了學生便于理解和掌握，筆者在教學中，做一個等腰三角形的教具：用兩條相等的木條AB、AC做等腰三角形的兩腰，用一條橡皮筋BC做等腰三角形的底邊，做成一個等腰ABC。

操作方法：先從等腰ABC的頂點A上拉，要求兩腰AC、AB重合，使底邊BC為零。兩腰之和與等腰三角形的周長相等，每一條腰等于周長的1/2，為了保證三角形的成立，必須每一條腰小于周長的1/2，必須大于零；然后將等腰ABC的底角的頂點B、C拉直，兩腰之和等于底邊，即底邊等于周長的1/2，為了保證三角形的成立，必須底邊小于周長的1/4，底邊必須大于零，否則不能構成三角形。所以有以下的結論：

（1）腰的取值范圍

等腰三角形的腰的取值范圍這樣確定比較簡便：腰長小于等腰三角形周長的1/2，必須大于周長的1/4。

例如：等腰三角形的周長為20厘米，試確定等腰三角形的腰的取值范圍？

分析：設等腰三角形的腰長為X厘米

20/4

（2）底邊取值范圍

等腰三角形的底邊的取值范圍這樣確定比較簡便：底邊長小于等腰三角形周長的1/4，且大于零。

例如：等腰三角形的周長為20厘米，試確定等腰三角形的底邊的取值范圍？

分析：設等腰三角形的底邊長為X厘米

1.2.2已知等腰三角形的腰長，如何確定底邊長的取值范圍

根據三角形的三邊不等關系可知：底邊長大于零而小于腰長的兩倍。

例如：等腰三角形的腰長為15厘米，試確定等腰三角形的底邊的取值范圍？

分析：設等腰三角形的底邊長為X厘米

1.2.3已知等腰三角形的底邊長，如何確定腰長的取值范圍

根據三角形的三邊不等關系可知：腰長大于底邊長的1/2即可。

例如：等腰三角形的底邊長為18厘米，試確定等腰三角形的腰長的取值范圍？

分析：設等腰三角形的腰長為X厘米

X>18/2，即X>9。所以：等腰三角形的底邊長的取值范圍是X>9。

2等腰三角形中“五線合一”

（1）等腰三角形中的“五線”指的是等腰三角形的頂角平分線AD、底邊上的中線AD、底邊上的高AD、底邊上的垂直平分線MN和對稱軸MN。

（2）等腰三角形中的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高指的是線段。

如圖：線段AD是等腰三角形頂角∠BAC的平分線，底邊BC上的高線，也是底邊BC上的中線。

（3）等腰三角形的底邊垂直平分線和對稱軸指的是直線。

篇（7）

考查等腰三角形的題目時，學生很容易漏解，主要是學生沒有認真分析題意，或者是沒有考慮周全，解題經驗還不夠豐富。我們在平時的教學中要多提醒學生，即考查等腰三角形的題目，一般都會指明哪兩條邊相等，如果不指明就要分類討論，分類討論在等腰三角形中的運用非常廣泛，如等腰三角形沒有指明腰，或者指明了腰，但沒有給圖，就要分頂角為銳角或鈍角，下面我們通過例題來展現分類討論思想在等腰三角形中的運用。

一、等腰三角形涉及邊的問題時，可以按照“腰”和“底邊”來分類討論，但要利用三角形三邊關系來判斷三角形是否存在

例1.（1）等腰三角形有兩邊長為4cm和7cm，則周長為

厘米。（15cm或18cm）

（2）等腰三角形的周長為24cm，一邊長為6cm，則其余兩邊長為 厘米。（9cm和9cm）

練習1：等腰三角形有兩邊長為3cm和7cm，則周長為

厘米。（答案：17cm）

二、等腰三角形中涉及“高”的內角求解問題，可以按照三角形類型分類討論

此時學生最容易犯的錯誤是畫一個頂角是銳角的等腰三角形，導致漏解，這一點也提醒我們老師在教學中應多畫頂角是鈍角的三角形，才不會形成思維定式。

例2.ABC中，AB=AC，CD為AB上的高，且ADC為等腰三角形，則∠BCD等于 .（22.5°或67.5°）

練習2：等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則頂角的度數是 .（30°或150°）

三、在等腰三角形內角求解的問題中，可以按“頂角”“底角”來分類討論

例3.已知一個等腰三角形的兩內角度數之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數為 （20°或120°）

練習3：等腰三角形的一個外角等于100°，則這個等腰三角形的頂角為 .（80°或20°）

四、在等腰三角形中涉及中線的問題，也需要分類討論

例4.已知一個等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個等腰三角形底邊的長。（1）

練習4： 已知一個等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成9和12兩部分，求這個等腰三角形底邊和腰的長。（當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm）

五、在方格紙或平面直角坐標系中，給出等腰三角形其中一線段或兩個頂點的坐標，未指明是腰還是底邊，求等腰三角形第三個頂點的個數或坐標

例5.用3×3的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，并且A、B在最中間小正方形的相對格點上，如果點C也是圖中的格點，且使得ABC為等腰三角形，則點C的個數為 .（答案：8）

練習5：在平面直角坐標系中，點A在第一象限，A（2， 1），點P在x軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有 個。（答案：4）

本題還可發散為點P在坐標軸上，則符合條件的點P有幾個？

例6.已知A（2，0），B（0，2），試在x軸上確定點M，使MAB為等腰三角形，寫出所有滿足條件的點M的坐標。（0，0），（-2，0），（2+2，0），（2-2，0）

六、等腰三角形與四邊形的結合問題，求相關線段的長度

例7.在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連結DP交AC于點Q.若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，ADQ恰為等腰三角形.

（分析：若ADQ是等腰三角形，則有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD

①當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ，ADQ是等腰三角形；

②當點P運動到與點B重合時，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA，此時ADQ是等腰三角形；

③設點P在BC邊上運動時，有AD=AQ，可算出當CP=4-4時，ADQ是等腰三角形.）

總之，學習等腰三角形，必須熟練運用等腰三角形的性質，看到等腰三角形題目要能聯想到它的性質，如，等邊對等角、三線合一，還有等腰三角形容易出現分類討論，要讓學生養成分類討論等數學思想在等腰三角形中的應用。

篇（8）

分析：等腰三角形被一條中線分成的兩部分，一部分是由一腰和另一腰的一半組成的，另一部分是由底和一腰的一半組成的.哪部分為12，哪部分為9呢？從下面兩圖形（圖1）中可以看出，存在兩種可能，故應當把兩種情況都考慮進去.

所以三角形的腰長為8，底邊長為5；或腰長為6，底邊長為9.

例2已知一個等腰三角形的一條邊上的高等于這條邊的一半，求頂角的度數.

分析：這條邊可能是底邊，也可能是腰，所以需要分情況討論.

解：(1)若這條邊為底邊時，如圖2，ADBC，AD＝BD＝CD，則ABD和ACD為等腰直角三角形，所以∠BAC＝45O＋45O＝90O；

(2)這條邊為腰時，

所以∠DAC＝30O，所以∠BAC＝150O.

故可知這個等腰三角形的頂角可能是90O或30O或150O.

例3 已知點A和點B，以它們為兩個頂點作等腰直角三角形，則一共可作出（ ）.

A.3個 B.4個 C.6個 D.7個

分析：本題沒有指明AB是腰還是底邊，所以需分類討論.

解：（1）以AB為底邊，有C1、C2兩個點符合要求，如圖5；

解析：當10cm的邊為腰，6cm的邊為底時，其周長為10＋10＋6=26cm；當10cm的邊為底，6cm的邊為腰時，其周長為10＋6＋6=22cm.因此，該等腰三角形的周長是22cm或26cm.應選D.

請思考：若等腰三角形的兩邊長分別為9cm和4cm，求其周長時，還會有兩解嗎？為什么？（一解，22cm）

例5已知等腰三角形的周長為20cm，一邊長為8cm，則其它兩邊長分別是______.

解析：若長為8cm的邊是腰，則另一腰也是8cm，底邊為4cm；若長為8cm的邊是底邊，則每一條腰長＝（20－8）＝6cm.故答案為8cm，4cm；或6cm，6cm.

篇（9）

那是一個非常晴朗的早上，我帶著自己準備好的教案和課件，帶著笑容走入了課堂。

我今天準備講解的內容是《等腰三角形》，重點講解的是等腰三角形的性質。在上課開始的時候，我一直按照自己準備好的內容有條不紊的進行著講解。我先是為學生介紹了等腰三角形性質的重要作用，讓學生充分的理解在平面圖形、立體圖形中這部分知識的重要性還引導學生認識到在實際生活、建筑、測量等方面，這些知識都會被廣泛的運用，這節課的知識對于之前全等三角形具有深化作用，更是以后平行四邊形定理的基礎，在整個知識體系中具有承上啟下的作用，于是我先是將這部分的知識的重要性傳授給學生。在分析學情之后，我開始了正式授課的環節。我在導入的環節采取的是溫故而知新的策略，讓學生回顧已經學習到的知識，什么是軸對稱圖形？在學生回答問題之后，我在課件上展示一些美麗的圖片，有上海世博會展館的圖片、有云南特色民居的圖片，這些圖片中都有一些比較明顯的特點就是其中都有等腰三角形，引導學生觀察出其中的特點。然后引導學生說出自己在實際的生活中聽到或者見過的等腰三角形，例如金字塔、鐵塔的結構，三腳架等等。在學生對等腰三角形形成基本認識的基礎上，教師提出問題，什么是等腰三角形，你如何判斷一個三角形是等腰三角形？在學生思考之后，我引進了本節課的重點知識，等腰三角形的性質。在將這節課的知識引入之后，我開始按照教學設計一點點的講解教學內容。因此，在我上課開始的時候，就拿出來一個三角形的模型，讓學生判斷這個三角形是否為等腰三角形，你是怎么判斷的呢？學生若是想要解決這個問題，就必須明確等腰三角形的概念，然后才能夠指導怎么進一步的操作得出結論與答案，這就需要學生深層次的思考，需要師生之間與生生之間的互動，有的學生回答可以運用測量的方法，看看其中兩邊是否是相等的，有的學生說可以采取折疊的方法，將三角形折疊出來，看看其中兩邊是否會重疊與重合，這些方法都可以監測出來。接著教師在提出一個問題，同學們如何檢查自己的課桌是水平的呢？有的學生說看看桌子的幾條腿是不是一樣長的，有的學生說看看桌子晃不晃就知道了……這個時候我準備了事先準備的測評儀，這種儀器是等腰三角形，其中三個頂點分別是ABC，底邊是BC，D是BC上的中點，在A上掛一鉛錘，當點D在鉛垂線上時，則被測面水平：否則，被測面不平。這個時候學生感覺很神奇，學習的興趣被激發起來，積極性、主動性不斷提升。這個時候，我剛要接著講解三角形的知識，這個時候，一個學生突然提出了一個非常尖銳的問題，他說為什么這種測平儀必須要求是等腰三角形的呢？測平儀的科學依據又是什么呢？這種測平儀真的是準確的么？這個時候課堂內部炸開了鍋，學生紛紛的討論起來，對測平儀這種東西產生了極大的興趣，課堂一時之間不受我的控制，與我自己的教學計劃也相去甚遠，我的內心一陣煩躁，覺得這個同學真的是無事生非，我們要學習的是等腰三角形的知識，為什么提出一些不相關的問題呢？但是沒有辦法，作為數學教師，需要從學生的實際出發，解決學生的實際問題。于是我改變了原來直接進入等腰三角形性質講解的環節，引導學生采取小組合作討論的方式進行學習，并且將知識再一次帶到等腰三角形的性質上來。我又一次的提出問題，大家都認為等腰三角形是一種特殊的三角形，那么他特殊在哪里呢？學生這個會后感覺到自己心里明白怎么回事，又不太會用語言描述出來，然后就采取小組合作的方式進行研究與探討。我將學生劃分為四個人為一組的學習小組。讓他們觀察課前我準備好的三角形，每個小組進行討論，學生一致的出來的結論是等腰三角形一定是對稱的，對稱軸就是AD這條線，為了學生更直觀的體驗，我將課件中的幾何畫板運用到，將等腰三角形的對稱軸以及如何對稱的動態展示出來，使學生之間形成共識。之后，我又讓學生自己做了一個等腰三角形，在畫一畫、折一折的過程中，感受等腰三角形的獨特性，讓學生對書中等腰三角形性質的結論有著深刻的認識，對等腰三角形的兩個底角相等，等腰三角形的平分線、中線、高是重合的有著實踐上認知。本來是一位同學的問題，這個問題當初在我看來似乎是有些無理取鬧、無事生非的意思，與我本來的教學計劃也是相違背的，有一瞬間，我甚至是覺得這節課沒有辦法在進行下去了，甚至心中毫無頭緒，所以我采取學生小組討論合作的方式，為自己贏得了寶貴的時間，既然這個學生對測平儀有疑問，而測平儀又是本節課所學內容的等腰三角形的體現，更能夠引導學生直觀的得出結論，于是我就從這個儀器出發，讓學生仔細的觀察，盡量將學生的注意力拉回到本節課需要學習到的內容上。到此為止，學生的問題仍然是沒有得到解答，教師可以故作懸念的道：“只是知道等腰三角形的性質還不夠，要想知道這種測平儀為什么有這種功能，我們還需要知道，等腰三角形的性質該如何證明。”在這部分知識的學習中，我和學生之間的互動多了起來，我先是利用計算機技術，進行動態的展示，讓等腰三角形的頂點沿著垂直的方向上下的移動，底下的兩個端點左右移動的幅度相同，底角變化的規律相同。同時，我又展現出任意一個三角形，將這個三角形的右端點向左平移，只有平移為等腰三角形的時候，三線才會重合。這會對學生產生直觀的感受，然后給學生幾分鐘的時間，讓給學生結合已學知識，結合已知條件，寫出證明的步驟。課程進行到這里，我已經將等腰三角形的特點、等腰三角形的性質、以及如何證明這些性質傳授給學生，但是本節課的沖突還是沒有得到解決。測平儀的依據是什么？測平儀真的準確么？這個時候可以引導學生自己去思考、交流與討論，得出結論，同時復習鞏固本節課的知識，更讓學生明白運用已學知識，解決是實際問題的重要作用。

等腰三角形的內容雖然看起來簡單，但是對于初中生來說，還是有點兒困難，我在教學中的教學設計，本來是打算沖突之后，直接進入到性質的講解，將性質傳授給學生，然后大量的習題反復訓練，沒有想到因為這位同學的“無事生非”，整個教學過程走向了更科學合理的道路，在本來的教學中，沒有注重學生數學精神與創新能力的培養，在這位同學的“無理取鬧”下，教學更注重學生的觀察、想象與實踐能力的提升。希望在以后的教學中，更多的學生“無事生非”，教學才能夠更科學，學生才能夠更好地追求真理。

篇（10）

等腰三角形可以是直角三角形，但是直角三角形不一定是等腰三角形。有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質，同時又具有所有直角三角形的性質。

一般的等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。但等邊三角形有三條對稱軸。每個角的角平分線所在的直線，三條中線所在的直線，和高所在的直線就是等邊三角形的對稱軸。

（來源：文章屋網 ）