數學中的反證法匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學中的反證法范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

在生活中，我們都有這樣的常識，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來；一種是用間接的方法――淘洗法，把砂粒殘留下來.這兩種方法雖然形式不同，但結果卻是一樣的，都能達到去掉砂粒的目的.有時用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一.”當一些命題不易從正面直接證明時，就可考慮用反證法.

一、反證法的基本概念

1.反證法的定義

法國數學家阿達瑪對反證法的實質做了如下概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾.”這是對反證法的極好概括.其實反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡單的題目，在高中數學中的應用較為廣泛，在解決一些較難問題的時候，反證法能體現其優越性.

2.反證法的基本思想

反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：

“否定推理矛盾肯定”，即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定.

3.反證法的邏輯依據

通過以上三個步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據就在于形成邏輯的兩個基本規律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假.再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的.

二、反證法的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1.反設.假設原命題的結論不成立；

2.歸謬.從這個結論出發，經過推理論證，得出矛盾；

3.結論.由矛盾判定假設不成立，從而肯定原命題的結論正確.

即：否定結論推導出矛盾結論成立.

三、反證法的種類

1.歸謬反證.結論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達到證題目的.

2.窮舉反證.結論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達到證題目的.

四、反證法的典型例題

例1：已知：AB，CD是圓內非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.

證明：假設AB與CD互相平分與點M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯結OA，OB，OM.

因為OA=OB，M是AB中點，所以OMAB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OMCD，從而過點M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.

五、反證法的使用條件

任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應該學會正確使用反證法解題.

雖然用反證法證明，邏輯推理嚴謹而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優點：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.

例2：如果對任何正數p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實數，則系數a=0，試證之.

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實第三步，即肯定原結論成立的論證錯了.因為，本題的題設條件為對任意正數p，y=0有兩個正實數根，結論是a=0，但本題的題設條件與結論是矛盾的；當a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數p，它只有一個根；在b=0時，僅當p=-c>0的條件下，它有無數個根，否則無根，但總之不會有兩個根.題設條件和結論矛盾.因此，本題不能反證法來處理.若原題改為“如果對于任何正數p，只存在正實根，則系數a=0”，就能用反證法證明.

因此，對于下列命題，較適用反證法解決.

（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無定理可以引用的命題.

例3：設a，b都是正數，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

證明：反設ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由對稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反證法是數學中的一種重要的證明方法.牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一.”它是從命題的否定結論出發，通過正確的邏輯定理推理導出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因為它對結論的否定實際上增加了論證的條件，多一個條件，這對發現正確的解題思路是有幫助的.對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過逆向思維，從結論入手進行反面思考，問題就能迎刃而解.在現代數學中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.

參考文獻：

[1]趙振威.中學數學教材教法[M].華東師范大學出版社，2000.

[2]劉世澤.反證法的邏輯依據[J].高等函授學報，1997（4）.

[3]耿素云.離散數學[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]趙杰.反證法―――化難為易的法寶.中學生數理化（高二版），2010，（3）.

篇（2）

中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0077-02

在中學數學中，反證法應用相當廣泛。怎樣正確運用反證法是一個難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無法入手的題目，用反證法就會使證明變得輕而易舉。

一、反證法原理及解題步驟

1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結論，從而得出原假設不成立，原命題得證。總的來說反證法就是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學數學中經常運用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結論出發，經過正確嚴格的推理，得到與已知假設或已成立的數學命題相矛盾的結果，從而得到原命題的結論是不容否定的正確結論。

2.反證法的解題步驟。在中學數學題目的求解證明過程中，當直接證明一個命題感到困難時，我們經常采用反證法的思想。由此，我們總結出用反證法證明命題的三個步驟：①提出假設：做出與求證結論相反的假設。②推出矛盾：與題設矛盾；與假設矛盾；恒假命題。③肯定結論：說明假設不成立，從而肯定原命題成立。數學問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結合實例總結幾種常用反證法的情況。

二、反證法在中學數學中的應用

反證法雖然是在平面幾何教材中提出來的，但對數學的其他部分內容如代數、三角函數、立體幾何、解析幾何中都可應用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來證比較方便的命題。

1.基本命題。基本命題就是學科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應用的定理、公式、法則較少，或由題設條件所能推出的結論很少，因而直接證明入手較難，此時應用反證法容易奏效。

例1 求證：兩條相交直線只有一個交點。已知：如圖，直線a、b相交于點P，求證：a、b只有一個交點。證明：假定a，b相交不只有一個交點P，那么a，b至少有兩個交點P、Q。于是直線a是由P、Q兩點確定的直線，直線b也是由P、Q兩點確定的直線，即由P、Q兩點確定了兩條直線a，b。

與已知公理“兩點只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個交點，于是兩條相交直線只有一個交點。

2.否定性命題。否定性命題，也就是結論以否定形式出現的命題，即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易人手，而運用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。

3.存在性問題。在存在性問題中，結論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來證明。

例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個不小于1。證明：假設a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5

4.無窮性命題。無窮性命題是指在求證的命題中含有“無窮”、“無限”等概念時，從正面證明往往無從下手時，我們常使用反證法。

例3 證明■是無理數。證明：假設■不是無理數，那么■是有理數，不妨設■=■（m，n為互質的整數）， m2=3n2，即有m是3的倍數，又設m=3q（q是整數），代人上式得n2=3q2，這又說明n也是3的倍數，那么m與n都是3的倍數，這與我們假設m、n互相矛盾，■是無理數。

5.唯一性命題。有關唯一性的題目結論以“…只有一個…”或者“……唯一存在”等形式出現的命題，用反證證明，常能使證明過程簡潔清楚。

例4 設0

從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0

三、應用反證法應該注意的問題

對于同一命題，從不同的角度進行推理，常常可以推出不同性質的矛盾結果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復雜，有簡單快捷，因此，在用反證法證明中，應當從命題的特點出發，選取恰當的推理方法。

1.必須正確“否定結論”。正確否定結論是運用反證法的首要問題。

2.必須明確“推理特點”。否定結論導出矛盾是反證法的任務，但出現什么樣的矛盾是不能預測的。一般是在命題的相關領域里考慮，這正是反證法推理的特點。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一出現，證明即告結束。

3.了解“矛盾種類”。反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等。

反證法是一種簡明實用的數學解題方法，也是一種重要的數學思想。學會運用反證法，它可以讓我們掌握數學邏輯推理思想及間接證明的數學方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養成嚴謹治學的習慣。我認為，只有了解這些知識，在此基礎上再不斷加強訓練，并不斷進行總結，才能熟練運用。

參考文獻：

[1]陳志云，王以清.反證法[J].高等函授學報（自然科學版），2000，13（6）：20-23.

[2]閻平連.淺談反證法在初中數學中的運用[J].呂梁高等專科學校學報，2002，18（1）：28-29.

[3]張安平.反證法――證明數學問題的重要方法[J].教育教學，2010，1（11）：179-180.

篇（3）

一、什么是反證法

反證法也稱作歸謬法，通常人們是這樣定義反證法的：“證明某個命題時，先假設它的結論的否定成立，然后從這個假設出發，根據命題的條件和已知的真命題，經過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結果。從而證明了結論的否定不成立，間接地肯定了原命題的結論成立。這種方法就叫做反證法。”在使用反證法的時候，通常通過以下步驟：“否定結論推導出矛盾結論成立。”反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較淺顯的題目，在高中數學中使用得較為廣泛，在解決較難的問題的時候，反證法更能體現其優越性。

二、反證法解決的常見題型

反證法雖然簡單方便，但是任何方法的使用都有它成立的條件，都有它適用的范圍。如果超越了使用的范圍就會出現解題錯誤，解題方法也就不再適用，同樣，也就會影響解題的成功率。因此，我們應該學會正確使用反證法來解題。

1.否定性問題

例題1：如果a，b，c是不全相等的實數，且a，b，c成等差數列，求證：，，不成等差數列。

分析：因為題目所證的結論是一個否定性的結論，如果直接證明的話讓人有點無從下手，但是采用反證法就顯得容易多了。

證明：假設，，成等差數列，則=+=，

由于a，b，c成等差數利，因此2b=a+c①，那么，==，即b=ac②，由①②得出，a=b=c，與a，b，c是不全相等的實數矛盾。故，，不成等差數列。

點評：在數學學習中，如果出現以下幾種情況可以考慮使用反證法來解題：第一，題目是用否定形式敘述的；第二，題目選擇使用“至多”、“至少”等文字敘述的；第三，題目成立非常明顯，而直接證明時所用的理論較少，且不容易說明白的；第四，題目呈現唯一性命題特征；第五，如果題目的論證從正面較難入手證明，可以選擇使用反證法。

2.某些存在性命題

例題2：假設設x，y∈（0，1），求證:對于a，b∈R，必存在滿足條件的x、y，使|xy-ax-by|≥成立。

分析：本題主要是探索某些存在性問題，可以嘗試用反證法。

證明：假設對于一切x，y∈〔0，1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0，y=1，則|b|＜令x=1，y=0，得|a|＜令x=y=1，得:|1-a-b|＜，但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=產生矛盾，故欲證結論正確。

例題點評：在證明此類存在性命題的時候，使用反證法只要其中一個結論，就可以論證題目當中的結論的合理性，比直接證明省掉了一個證明的步驟，顯得更為簡單、明了。

3.結論為“至多”、“至少”的命題

雖然反證法是一種很積極的證明方法，用反證法證題還有很多優點：如適用范圍廣、思想選擇的余地大、推理方便等。但是并不是每一道題都能用反證法來解的。比如對以下兩個例題的分析。

例題3：若z，y均為正整數，且z+y>2．求證：＜2或＜2中至少有一個成立。

分析：一般而言，如果題目中出現“至少”或者“至多”的字眼，選擇使用反證法要簡單一些。

證明：假設≥2與≥2同時成立，因此，x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，1+y≥2x。

將以上兩式相加得z+y≤2，這與已知條件z+y＞2矛盾，因此可以證明這個假設不成立。

因此，可以得出＜2或＜2中至少有一個成立。

例題4：如果對任何正數p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實數，則系數，試證之。

證明：假設a＞0，則二次函數y=ax+bx+c+p的圖像是開口向上的拋物線，顯然可見，當p增大時，拋物線就沿y軸向上平移，而當p值增大到相當大的正數時，拋物線就上開到與x軸沒有交點，則對這樣的一些p值，二次方程的實數根就不存在。因此，a＞0，這一假設與已知矛盾。

同理，a＜0，也不合題意。

綜上所述，當a＞0和a＜0時均不合題意。因此，a=0。

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實第三步，即肯定原結論成立的論證錯了。因為，本題的題設條件為對任意正數p，y=0有兩個正實數根，結論是a=0，但本題的題設條件與結論是矛盾的。

當a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數p，它只有一個根；在b=0時，僅當p=-c＞0的條件下，它有無數個根，否則無根，但總之不會有兩個根。題設條件和結論矛盾。

因此，本題不能用反證法來處理。

但是，如果原題改為“如果對于任何正數，只存在正實根，則系數”，就能用反證法證明了。

點評：通過分析例題3、例題4，可以得出對于下列命題，較適用反證法來解決：

第一，對于結論是否定形式的命題；

第二，對于結論是以“至多”，“至少”或“無限”的形式出現的命題；

第三，對于結論是以“唯一”或“必然”的形式出現的命題；

第四，對于可利用的公理定理較少或者較以與已知條件相溝通的命題。

三、結論

牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一。”反證法之所以有效是因為它對結論的否定實際上增加了論證的條件，這對發現正確的解題思路是有幫助的。對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。在現代數學中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一。

參考文獻：

［1］趙杰.反證法――化難為易的法寶.中學生數理化（高二版），2010，（3）.

篇（4）

反證法大致又可以分為以下兩種類型.

1.歸謬法：論題結論的反面只有一種情況，只要把這種情況就達到了證明目的，如本文中的例1和例3.

2.窮舉法：論題結論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結論正確，如本文中的例2.

反證法常用于以下幾種命題的證明.

一、命題中不易找出可以直接推證的關系

例1 在同一平面內有四條直線a、b、c、d，若a與b相交，ac，bd.求證：c與d相交.

證明：假設c∥d.因為ac，所以ad.又因為bd，所以a∥b.這與已知a與b相交矛盾，所以c與d相交.

二、命題中含有“不”、“無”等詞（稱作否定形式的命題）

例2 求證：當n為自然數時，2（2n+1）形式的數不能表示為兩個整數的平方差.

證明：假設有整數a、b，使a2-b2=2（2n+1），即（a+b）（a-b）=2（2n+1）.

當a、b同為奇數或同為偶數時，a+b和a-b皆為偶數，則（a+b）（a-b）應為4的倍數，但2（2n+1）除以4余2，與假設矛盾.

當a、b為一奇一偶時，a+b和a-b皆為奇數，則（a+b）（a-b）應是奇數，但2（2n+1）是偶數，與假設矛盾.

所以假設錯誤，即2（2n+1）形式的數不能表示為兩個整數的平方差.

篇（5）

近世代數是一門較抽象的課程.它的主要研究對象是代數系統，即帶有運算的集合.由于內容抽象，初學者往往會感到困難重重，尤其對于證明，不知如何從哪方面下手.其實，在掌握好它的基本概念、性質和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是數學證明里常用的，如，類比、歸化、轉化、反證等.反證法在近世代數的證明中用途極其廣泛.它在數學命題的證明中有直接證法所起不到的作用，如果能恰當地使用反證法，就可以化繁為簡、化難為易、化不可能為可能.

反證法是分析問題和解決問題的一種科學方法.反證法又叫歸謬法、背理法，是數學中常用的一種命題證明方法.反證法是對數學命題的一種間接證法，其理論依據是形式邏輯中的“排中律”和“矛盾律”.這種方法是從反面進行證明，即肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，使命題獲得證明.有關“存在性”、“否定性”、“無限性”的命題，應用反證法的情況較多.在近世代數中，有些問題直接利用定理結論證明或用定義直接驗證較困難時，可考慮使用反證法.本文就子群的階、同構、主理想、素理想四個近世代數中幾個重點難點內容展開討論，希望學生在學習過程中由此能得到點滴啟發.

反證法證題的步驟是：1.反設：反設是應用反證法證題的第一步，也是關鍵一步，反設的結論作為下一步“歸謬”的一個已知條件.反設的意義在于假設所有證明的命題的結論不成立，而結論的反面成立；2.歸謬：“歸謬”是一個用反證法證題的核心，其含義是從命題結論的“反設”及原命題的已知條件出發，進行正確嚴密的推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的結果；3.結論：指出“反設”是錯誤的，原命題結論必正確.

1.反證法在子群階中的應用

例1.設p，q是兩個素數，且p

分析：這個結論易通過Sylow定理得到，但[1]中沒有涉及Sylow定理，通過反證法可輕松證得.題目要證明至多存在一個子群，我們可以假設存在兩個不同的子群.

證明：設H，K是群G的兩個不同的q階子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素數，故|H∩K|=q或1.

若|H∩K|=q，則由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，與H≠K矛盾.

注：從這一例題中可以看到，直接說明pq階群G最多有一個q階群難度相當大，但如果假設有兩個不同q階子群，通過推理出現矛盾，則說明最多有一個q階子群.

2.反證法在同構中的應用

同構在近世代數中是一個非常重要的基本概念.如果忽略掉同構的對象的屬性或操作的具體定義，單從結構上講，同構的對象是完全等價的.簡單來說，同構是一個保持結構的雙射.在更一般的范疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的復合是一個恒等態射.

換言之，G的乘法表是唯一確定的.因此階為6的非交換群存在且互相同構.

注：這一證明題不是一開始就給予結論否定，而是在證明中部分地方利用了反證法.如|b|≠3.若|b|=3，則在后面的推論中出現矛盾.

3.反證法在環中的應用

例3.證明卡普蘭斯基（Kaplansky）定理：設R是一個有單位元用1表示的環，如果R的元素a有一個以上的右逆元，則a就有無限多個右逆元.

4.反證法在理想中的應用

注：說明極大理想都是素理想，可以假設有一個極大理想不是素理想，根據這一假設推出矛盾.

數學思維方法的訓練是實現“授之以漁”教學舉措的有效手段，我們應該在教學中有意識、有計劃、有目的地利用不同類型的問題，從不同視角、不同途徑分析、思考和探索，幫助學生拓展證題思路，形成良好的數學思維品質.善于反思，巧妙利用反證是解決數學問題的重要方法和策略，不僅能揭示數學知識的內在聯系、規律和相互關系，更能從復雜問題中找到突破口，從而避免繁瑣的證題過程，有效提高學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的探索和創新精神.

參考文獻：

[1]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]汪秀羌.反證法的應用[J].工科數學，1997，2：163-166.

篇（6）

一、非命題

非命題是高中數學的簡易邏輯中出現的概念，而在實際生活中，非命題類的語句也經常用到.“非”是否定的意思，對命題進行否定得出的新命題，我們稱之為非命題.所以，當某一個命題為真命題時，將之否定得到的就是假命題，同樣，若一個命題為假命題時，將之否定則是一個正確的命題，即真命題.一般情況下的這樣兩個命題稱為一組“互非命題”.

我們來看一句話，為表述方便，把它記為A：“0的倒數是0.”這句話可以判斷真假，我們稱之為命題，又因為1/0在初等數學中沒有意義，所以命題A是假命題，那么，將之否定將得到真命題，也即非A命題：“0的倒數不是0”是真命題.這是數學上的推理，然而在我們的日常口語習慣中，0的倒數既然沒有意義，也就是前提不存在，那么結果無論是等于0還是不等于0都是不正確的.數學與邏輯有矛盾嗎？

數學是頭腦的體操，是邏輯的推演，結論是確定的、可控的，我們說“數學的世界里沒有騎墻派”，當然不會產生矛盾.我們把剛才的命題數學化，寫成條件命題的標準形式，若p則q形式，改寫如下：若x=0則1/0=0；那么非命題為若x=0則1/0≠0，我們將1/0≠0理解成：這個整體可能根本不存在（無意義），也可能取某一個非零的值.換言之，它不僅包括原命題的反面內涵（也即非零值），還包括與之相關聯、相和諧的一系列的相關外延.正是這一系列內涵與外延的獨立，才使得利用逆否命題可以證明原命題.

二、反證法

反證法可以用來證明任何學科領域的命題.一般的，由證明若p則q形式，轉而證明非q推出一系列結論，從而推出一個全新結論t，其中t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定非p為假，推出p為真命題.證明的一般步驟一般有三個：（1）假設命題的結論不成立，即假設結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.下面對這三個步驟詳加說明.

步驟一：正確地作出反設.否定結論是正確運用反證法的前提，需注意所作出的反設必須包括與結論相反的所有情況，而提出否定假設相當于增加了一個已知條件.

步驟二：推出矛盾是用反證法證明命題的關鍵.在證明和推導過程中，已知的一些定義、定理、已知條件都正常應用，提出的反設也作為一個已知條件參與證明和推導.需要注意的是如果否定事項只有一個，我們只要把這個反面駁倒，就能肯定原命題成立，如果否定事項不止一個時，就必須將結論所有否定逐一駁倒，才能肯定原命題成立.

步驟三：矛盾判定.需要針對具體問題看待矛盾，一般情況下，是與已知條件矛盾，特殊情況下，雖與已知條件相符（已知條件可在步驟一中參與推理），但與其他定義、定理、公理、事實等矛盾.

步驟四：既然產生了矛盾，必須推究產生的原因，因為在步驟二中的推演是合乎邏輯的正常推導，所以問題只能出在步驟一上，換言之，其反設有問題，由錯誤的條件產生的矛盾的結論，從而證明了原命題的正確.

三、逆否命題

在邏輯中的命題除了陳述和判定的語氣、結構外，有些是在一定條件下的判斷，也即：

在某種條件下成立某一結論，這種情形通俗點說就是“如果怎樣則結果如何”，在數學上稱為“若則命題”，一般表示為“若p則q”，而與之等價的命題為“若非q則非p”，這種命題將原命題的條件用非命題的形式作為新命題的結論，將結論的非命題作為新命題的條件，我們稱之為原命題的逆否命題.

在本質上講，原命題與逆否命題的等價性是反證法證明的邏輯基礎.原命題為“若p則q”，則反證法的第一個步驟尋找反設，也即是認定非q的過程，步驟二的推導，也即“若非q則非p”的過程，步驟三的矛盾判定，實際就是非p的判斷，步驟四本質上就是原命題與其逆否命題的等價認定過程.

綜合以上，我們知道，邏輯判斷過程中的逆向思維是以“非命題”形式作為基礎，以“逆否命題”作為橋梁，以“反證法”作為實踐手段實現的，而且，在逆向思維的應用中，已知的情況以及使之成立的一切條件和與之相符相伴相和諧的一切都在逆向判斷的范疇內，所以邏輯是思維的過程，而數學是思維發展的產物，邏輯與數學是共生共存的關系，并且兩者會相互促進、共同發展.

【參考文獻】

[1]顧銀麗.反證法在高中數學中的應用.數學學習與研究，2011（15）.

篇（7）

反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛盾的命題，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了原命題的結論，從而使命題獲得了證明。

具體的實施步驟為：第一步：反設，即作出與求證結論相反的假設；第二步：歸謬，即將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步：存真，即說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

立體幾何較其它學科而言有困難的一面，其中有些問題簡直叫人束手無策。當山重水復疑無路時，若遵循“正難則反”的解題原則，應用反證法，則常可柳暗花明又一村。況且反證法是常用的數學解題方法。現列舉反證法解決立體幾何的幾類棘手問題，以期拋磚引玉。

現列舉反證法在立體幾何證明中的一些常見應用，以供參考。

1、證明2條直線是異面直線

證明2條直線是異面直線可以用“平面內的直線與過平面外一點及平面內不在該直線上的一點的直線是異面直線”這一結論，但常用的還是反證法。

例1 如下圖所示，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P， A∈a， D∈a， B∈b，E∈c，求證BD和AE是異面直線。

證明 設BD和AE不是異面直線，則BD與AE確定一個平面β，有A∈β， B∈β，E∈β，D∈β。因為A∈a，D∈a，所以a β。

又因為P∈a，所以P∈β。因P∈b，B∈b，所以b β。因E∈c，P∈c，所以c β，這與a、b、c不共面矛盾，從而有BD和AE是異面直線。

2、否定性命題

當結論以“沒有…”、“都不…”、“不是…”、“不能…”、“不存在…”等否定形式出現時，由于直接法證明不易入手，可以考慮用反證法證明。

例2證明：在空間中不可能有這樣的多面體存在，它們有奇數個面，而它們的每個面又都有奇數條邊。

分析：條件中出現“奇數個面”、“奇數個邊”，由此聯想到奇數的性質，借助于奇數的性質來證明結論。

證明：假設存在這樣的多面體。它有n個面（n為奇數），每個面的邊數分別是S；、S：、…、S n（S，、52…S。都是奇數），并設多面體的總邊數是5。因為每條邊都是兩個面公有的，所以S；十52+…+S。~25。此式的左邊是奇數個奇數的和，仍然是奇數；而右邊是偶數，這是不可能的。所以命題得證。

說明：在命題結論中涉及否定論斷，因為再否定就是肯定，而對于肯定的結論一般比原結論更具體明確，易于證明。

3、此前無定理可直接引用

學習立體幾何的初始階段，有時面對題目中需證的結論，由于所學定理很少，往往沒有能從正面直接可用的定理，顯得無法入手。此時若用反證法，很可能豁然開朗，化難為易。

例3 已知四邊形ABCD的四個角ABC、BCD，CDA、DAB都是直角，求證四邊形ABCD是矩形。

A

分析 要證四邊形ABCD是矩形，因其四個角都是直角，故只要證明四邊形是平面四邊形即可。

證明假設四邊形ABCD的四條邊不在同一個平面內，不妨設邊BC，CD在平面a內，則AB ，AD都在平面a外。

作AA'a于A'，連結A'B，A'D，則由AB上BC，ADCD，根據三垂線逆定理得A'BBC，A'DCD。從而平面四邊形A' BCD中有三個直角，則四邊形A'BCD是矩形， BA'D=900，BD2=A'B2+A' D2。

又在RtABD中，BD2= AB2 + AD2，因而有A'B2+A'D2=AB2+AD2。但由A'B < AB，A' D < AD，知A'B2+A'D2

所以假設不成立，則四邊形ABCD是平面四邊形，進而是矩形。

4、數量上無限的某種元素

結論是數量上無限的某種元素都具有某種特征的命題，無法把這些元素一一列舉出來給以直接證明，這時可采用反證法證明其中任意一條莫不具有這種特征。

例4 過已知平面外一點且平行于該平面的直線，都在過已知點平行于該平面的平面內。

5、運用反證法應注意的問題

（1）窮舉法的運用。如果原命題的否定只有一面，那么只須把這一面，這種單純的反證法叫歸繆法：如果命題題斷的否定不只是一面，此時必須將其各面都駁倒，才能肯定原來的題斷成立。這種較繁的反證法叫窮舉法。我們在運用反證法時，要注意窮舉法的運用。例如已知：a//b，a =A，求證：b和 必相交于一點。用反證法證明時，應假設b和 不相交于一點，然而不相交于一點包含兩個方面，一是b ，二是b// ，因此必須分兩個方面予以推論而得：b 不可能，及b// 也不可能，從而得出b和必相交于一點。

（2）反證法時的圖設。用反證法證題時，假設和命題的事實是相矛盾的。因此在空間圖形的圖設中，不可能用一個圖形把兩個相互矛盾的方面同時反映出來。所以作圖時，我們常常把所作的圖形故意加以歪曲。

（3）反證法的圖設大致可分三類：一類是按事實原本無法成型的。這類題目在應用反證法時，我們應對事實作全部的歪曲，也就是在證題過程中作出一個假設成立的四棱錐，并且它符合題設給我們的條件。第二類是在正確的圖形中，添補局部與事實不符的圖形。第三類，是按題設可以正確作出圖形的，此類題目也就不必對圖形加以歪曲。

參考文獻：

[1]郝睿達.立體幾何中的反證法[J].數理化解題研究（高中版）,2007(3)

篇（8）

數學是一門注重培養學生思維的學科。《高中數學課程標準》中明確指出：“數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用，要注重對數學本質的理解和思想方法的把握。”長期的實踐表明，如果按部就班的對學生進行引導，會導致學生形成思維定式。而有意識的對學生進行逆向思維的訓練，有利于幫助學生轉變錯誤的觀念，形成正確認知，而且有利于幫助學生發展創新思維。本文結合筆者多年的教學實踐經驗，就“高中數學教學逆向思維能力的培養”這一課題淺談如下自己的看法。

一、什么是逆向思維

所謂逆向思維，是一種創造性思維，它是指與原先思維相反方向上的思維。相對正向思維而言，它是與人們常規思維程序相反的，不是從原因（或條件）來推知結果（或結論），而是從相反方向展開思路去分析問題、得出結論。

逆向思維就是突破習慣思維的束縛，做出與習慣思維方向相反的探索。如果學生有逆向思維的能力，采用這種思維去解決問題，就很容易找到解題的突破口，尋找到解題的方法和恰當的路徑，使解題過程簡潔而新穎，逆向思維不僅可以加深對原有知識的理解，還可以從中發現一些新的規律，或許會創造出更新更好的方法。在數學教學中有目的地設汁一些互逆型問題，能從另一個角度去開闊學生的思路，就會促使學生養成從正向和逆向兩個方面去認識、理解、應用新知識的習慣，從而提高學生分析問題和解決問魎的能力。

二、高中數學教學逆向思維能力的培養途徑

1.在數學概念教學中訓培養逆向思維。高中數學中的概念、定義總是雙向的，不少教師在平時的教學中，只注意了從左到右的運用，于是形成了思維定勢，對于逆用公式法則等很不習慣。因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展。

2.在解題教學中的培養逆向思維。解題教學是培養學生思維能力的重要手段之一，因此教師在進行解題教學時，應充分進行逆向分析，以提高學生的解題能力。

（1）順推不行則逆推。有些數學題，直接從已知條件入手來解，會得到多個結論，導致中途迷失方向，使得解題無法進行下去。此時若運用分析法，從命題的結論出發，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。

（2）直接不行換間接。還有一些數學題，當我們直接去尋求結果十分困難時，可考察問題中的其他相關元素從而間接求得結果。

3.利用反證問題培養逆向思維。反證法實質上是證明命題的逆否命題成立，即當命題由題設結論不易著手時，而改證它的逆否命題，是從題斷的反面出發，以有關的定義、定理、公式、公理為前提，結合題設，通過推理而得出邏輯矛盾。從而得知題斷的反面不能成立。應用反證法證明的主要三步是：否定結論一推導出矛盾一結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無限”形式出現的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。

4.強化學生的逆向思維訓練。一組逆向思維題的訓練，即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目相似的新題型。在研究、解決問題的過程中，經常引導學生去做與習慣性思維方向相反的探索。其主要的思路是：順推不行就考慮逆推；直接解決不了就考慮間接解決；從正面入手解決不了就考慮從問題的反面入手；探求問題的可能性有困難就考慮探求其不可能性。

5.靈活運用基本數學方法，促進逆向思維發展。

（1）分析法是從結論出發“執果索因”，步步尋求結論成立的充分條件，它只要求每相鄰的兩個論斷中，后一個是前一個的充分條件（不一定等價），用分析法思考，要論證的結論本身就是出發點，學生知道了應從什么地方著手，能自覺地、主動地去思考，學生的解決問題的信心便大大增強了。“由因導果”的方法通常稱為綜合法。分析法和綜合法各有千秋，可以互相彌補對方的不足。在實際論證一個命題時，先用分析法思考發現可以作為論證出發點的真命題，再用綜合法表達出證明過程，兩者配合起來，在教學中運用十分廣泛，且分析法常用于不等式和恒等式的證明。

（2）逆證法雖然也是從結論出發，但它與分析法還是有區別的，逆證法要求推理過程中，任何兩論斷都互為充要條件，逆證法首先對不等式或恒等式進行變形，逐步推出一個已知的不等式或恒等式，這比較直截了當，檢查這些變形是可逆的并不困難，但在一般情況下使用逆證法并不省事，應讓學生重點掌握分析法。

參考文獻：

篇（9）

        二、克服反證法教學心理障礙

        學生的心理結構的發展過程包括圖式—同化—順應—平衡等四個過程。當一個新知識出現時，學生首先是用舊的認識結構對其進行解釋與吸收，將新知識納入原有的認識結構之中。當原有的認識結構不能解釋，不能容納新知識時，則內部系統及對原有認識結構進行重新改組，擴大。使之足以包攝新知識，達到新的平衡。學生在以往學習的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會與原有的知識系統和認識圖形相互矛盾。他們在具體證明某一題目時，只須將題目具體內容“同化”到他們原有的認識結構或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經形成了他們進行演繹推理的心理基礎，成為他們達到心理平衡的依據。運用直接證明方法時，也有心理障礙存在，但那是由于在錯覺影響下，或在下意識作用下的原因所造成的。而學習反證法時，推理過程中出現的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯覺或下意識是不同的。要使學生真正掌握反證法。不將學生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進行“順應”的過程，是不可能的。反證法的教學，不應拘泥于教材，宜采取分散難點，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計劃地落實到教學之中，著重培養學生進行形式演繹的能力。

        結果，指導學生練習時，一定要突出兩點：一是要將結論的反面當成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結果，否則就不能導致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應是無懈可擊的，其矛盾的產生并非別的原因，只因反設不成立所致。同時，導致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。

        二是與已學定義、公理、定理相矛盾。三是與題設相矛盾。

        3、“結論”的練習：“反證法”中的結論是指最后得出所證命題的結論。教學時，一定要嚴格要求“結論”準確。否則，將前功盡棄。

        （四）比較辨析，恰當運用“反證法”

        “反證法”在幾何、代數、三角等方面都能應用。教學時，為了擴展學生的視野，激發學生積極性，可適當補充這方面的練習題。另一方面，學生學了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結果使一些簡單問題復雜化了，以致弄巧成拙。教學時還應強調，什么時候用“直接證明法”，什么時候用“反證法”，應依所證命題的具體情況恰當使用。

原則上是“以簡

  （一）淺顯事例引入“反證法”的基本思想

學生剛接觸“反證法”時，對于此法中根據排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學時，可通過學生已有實踐體會的淺顯的生活方面的事例讓學生逐步領會。開始將“反證法”用于解題時候，也宜于用學生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。

        （二）精講例題，找出“反證法”的基本規律

有前面的基礎，就要注意講好每一個具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時的第一個例題。教學時，宜于運用具體的幾何實例。逐步說明證明的過程，并啟發學生沿著思維規律進行思考，得出“反證法”的一般步驟和規律：

        1、反設：將結論的的反面作為假設。

        2、歸謬：將“反設”作條件，由此推出和題設或者和公理、定義、已證的定理相矛盾的結果。

        3、結論：說明“反設”不成立，從而肯定結論不得不成立。

        （三）加強練習，培養用“反證法”證題的基本能力

在學生初步領會“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應靠足夠的練習來逐步培養學生運用“反證法”證題的能力。練習要有針對性，要重點突出，根據“反證法”的特點，練習的著重點應放在“反設”、“歸謬”、“結論”三個方面。

        1、“反設”的練習：“反設”即為“否定結論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續部分，學生初學時，往往去否定假設，教學時，應注意糾正。要突出“反設”的含義就是“將結論的反面作為假設”。在思考途徑上可指導學生按以下幾步進行：第一要弄清所證命題的題設和結論各是什么。第二找出結論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復。第三否定時用“不”或“不是”加在結論的前面，再把句子化簡。

        2、“歸謬”的練習：“歸謬”即“假定結論的反面成立，而導致矛盾。”就是說將結論的反面作為條件后，經過邏輯推理，導出矛盾的結果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學生初學時，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。

        1、當直接證明某個命題有困難或不可能時，可考慮使用“反證法”。

        2、否定性問題：在此類問題中，結論的反面即可能就更為具體，常常可以由此去推出矛盾，從而否定可能，而肯定了不可能。

        3、唯一性問題：此類問題中，結論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。

篇（10）

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和的形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到。

二、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法，在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除了中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，還有如利用拆項添項法、求根分解法、換元法、待定系數法等。

三、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

四、判別式法與韋達定理

一元二次方程a2x+bx+c=O(a、b、c∈R，a≠0)根的判別，=b2―4ac不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形、解方程(組)、解不等式、研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

五、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。

六、構造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法：通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。

七、反證法

反證法是一種間接證法，它先提出一個與命題結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。

八、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時也會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

九、幾何變換法