數學思維論文匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學思維論文范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

2.求同型

這是一種進行綜合、概括的思維形式。如上例，教師亦可以用幾種不同的敘述方法提出幾個問題，讓學生歸納出16—10的算式來。此外，還可以通過一些異中有同的習題來訓練學生的抽象概括思維能力。如：

①甲乙兩人接到加工54只零件任務，甲每天加工10只，乙每天加工8只，幾天后完成任務？

②一件工程，甲獨做10天完成，乙獨做15天完成，兩人合作幾天完成？

像這些形異質同的問題，要引導學生自己總結出：工作總量÷工作效率=工作時間。只有這樣，學生才能以不變應萬變，解一題會多題，可以起到減輕學生負擔的作用。

3.遞進型

這是一種屬于邏輯判斷、推理的思維形式。例如，教師在講授“已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。”一類題時，叮以引導學生用已掌握的“已知一個數幾倍是多少，求這個數”的解題規律去進行邏輯推理，讓學生自己發現新出現的百分數應用題的解題規律。教師不要越俎代皰，否則吃力不討好，反而妨礙了學生思維能力的提高。

4.逆反型

這是一種敢于和善于突破習慣性思維束縛的反向思維形式。在數學教學中，可供訓練的材料比比皆是，如加減、乘除、通分約分、正反比例等，問題是教師如何善于運用它。如教驗算時，16-10=6，學生習慣地用16-6=10來驗算，這時教師可啟發學生用6＋10=16來驗算。經過訓練，學生便可知道用加法驗算減法、用減法驗算加法、用乘法驗算除法、用除法驗算乘法了。

5.激化型

這是一種跳躍性、活潑性、轉移性很強的思維形式。教師可通過速問速答來訓練練學生。如問：3個5相加是多少？學生答：5＋5＋5=15或5×3=15。教師又問：3個5相乘是多少？學生答：5×5×5=125。緊接著問：3與5相乘是多少？學上答：3×5=15，或5×3=15。通過這樣的速問速答的訓練，發現學生思維越來越活躍，越來越靈活，越來越準確。

6.類比型

這是一種對并列事物相似性的個同實質進行識別的思維形式。這項訓練可以培養學生思維的準確性。如：

①金湖糧店運來大米6噸。比運來的面粉少1/4噸、運來面粉多少噸？

②金湖糧店運來大米6噸，比運來的面粉少1/4，運來面粉多少噸？

以上兩題，雖然相似，實質不同，一字之差，解法全異，可以點撥學生自己辨析。通過訓練，學生今后碰到類似的問題便會仔細推敲，這樣就大大地提高了解題的準確性。

7.轉化型

這是解決問題遇到障礙受阻時把問題由一種形式轉換成另一種形式，使問題變得更簡單、更清楚，以利解決的思維形式。在教學中，通過該項訓練，可以大幅度地提高學生解題能力。如：某一賣魚者規定，凡買魚的人必須買筐中魚的一半再加半條。照這樣賣法，4人買了后，筐中魚盡，問筐中原有魚多少條？該題對一些沒有受過轉化思維訓練的學生來說，會感到一籌莫展。即使基礎較好的學生也只能復雜的方程。

但經過轉化思維訓練后，學生就變得聰明起來了，他們知道把買魚人轉換成1人，顯然魚1條；然后轉換成2人，則魚有3條；再3人，則7條；再4人，則15條。

8.系統型

篇（2）

簡單的說，數學直覺是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。

對于直覺作以下說明：

(1)直覺與直觀、直感的區別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說："直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。"由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說："這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂''''直覺''''……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。"

(2)直覺與邏輯的關系

從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重并不等于完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。

一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多"演繹推理元素"，一個成功的數學證明是這些基本運算或"演繹推理元素"的一個成功的組合，仿佛是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。

在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，"約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣"，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

二、直覺思維的主要特點

直覺思維具有自由性、靈活性、自發性、偶然性、不可靠性等特點，從培養直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：

(1)簡約性

直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的"本質"。

(2)創造性

現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

伊恩．斯圖加特說："直覺是真正的數學家賴以生存的東西"，許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分了環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。

(3)自信力

學生對數學產生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的"自信心"。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。

高斯在小學時就能解決問題"1+2+……+99+100＝?"，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。而現在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。

三、直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出："數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。"數學直覺是可以通過訓練提高的。

(!)扎實的基礎是產生直覺的源泉

直覺不是靠"機遇"，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。阿提雅說："一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。"阿達瑪曾風趣的說："難道一只猴了也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?"

(2)滲透數學的哲學觀點及審美觀念

直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建鄰的把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。例如（a+b）2=a2+2ab-b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。

美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數學對稱的角度考慮，大膽的提出了反物質的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質疑，他曾經說，如果一個物理方程在數學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

(3)重視解題教學

教學中選擇適當的題目類型，有利于培養，考察學生的直覺思維。

例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。

(4)設置直覺思維的意境和動機誘導

這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

篇（3）

簡單的說，數學直覺是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。

對于直覺作以下說明：

(1)直覺與直觀、直感的區別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說："直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。"由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說："這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂''''直覺''''……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。"

(2)直覺與邏輯的關系

從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重并不等于完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。

一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多"演繹推理元素"，一個成功的數學證明是這些基本運算或"演繹推理元素"的一個成功的組合，仿佛是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。

在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，"約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣"，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

二、直覺思維的主要特點

直覺思維具有自由性、靈活性、自發性、偶然性、不可靠性等特點，從培養直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：

(1)簡約性

直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的"本質"。

(2)創造性

現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

伊恩．斯圖加特說："直覺是真正的數學家賴以生存的東西"，許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分了環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。

(3)自信力

學生對數學產生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的"自信心"。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。

高斯在小學時就能解決問題"12……99100＝?"，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。而現在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。

中學數學教學大綱(試驗修訂本)將培養學生的三大能力之一"邏輯思維能力"改為"思維能力"，雖然只是去掉兩個字，

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三、直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出："數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。"數學直覺是可以通過訓練提高的。

(!)扎實的基礎是產生直覺的源泉

直覺不是靠"機遇"，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。阿提雅說："一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。"阿達瑪曾風趣的說："難道一只猴了也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?"

(2)滲透數學的哲學觀點及審美觀念

直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建鄰的把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。例如（ab）2=a22ab-b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。

美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數學對稱的角度考慮，大膽的提出了反物質的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質疑，他曾經說，如果一個物理方程在數學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

(3)重視解題教學

教學中選擇適當的題目類型，有利于培養，考察學生的直覺思維。

例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。

(4)設置直覺思維的意境和動機誘導

這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

篇（4）

二、培養學生良好的學習習慣

由于課時等因素的影響，大學數學老師課堂教學的時間受到限制，無法對課本中的理論定理、公式、概念等內容進行詳細的講解．即使有的老師講解的非常細致，仍有學生聽不懂．而聽懂的學生在自己做題時卻不知如何解題，這是學生沒有得到充分訓練的結果［1］．大學數學老師沒有足夠的時間陪著學生做大量練習，這就需要學生在課余時間對課本知識多做預習和復習．預習的過程中，要理解相關的概念、公式，在自己不懂的地方做上標記．課前的預習，有助于學生有側重點的聽課，有利于學生跟上老師上課的節奏．課后的復習是學生對已學內容的鞏固和掌握，是提高其數學水平的重要環節．由于學生數學水平的不一，數學老師可以通過提出問題、布置作業的方式來指導學生預習和復習．例如，讓學生解釋數學內容的某一定義、某一解題方法等．教師可在每節課結束之前安排好下節課的內容，便于學生提前做好預習．

三、引領式教學

啟發學生主動思考問題是一種有效的教學方法，數學老師可以故意設置一些陷阱引導學生自主的思考．學生自主預習、復習、老師適時引導有利于學生更好的理解學習內容，做到舉一反三．教師還可以在課堂上讓學生針對某一個問題進行提問，培養學生綜合全面分析問題和解決問題的能力［2］．數學老師在完成課堂教學內容的前提下，把學生分組，讓他們互相交流，使學生了解更多的思考方式，從而促進學生思維能力的鍛煉．只要是能夠啟迪學生思考的教學方式，數學老師都可以進行嘗試．比如在數學課上進行知識競賽，學生為了比賽，必須做好十足的準備，既要弄明白相關的知識點以及解題的方法，還要準備好語言表達．學生在準備比賽的過程中，不僅鞏固了已經學習到的知識點，還鍛煉了思維能力．

四、注重課外培養

1．學生之間互相交流

大學數學和其他課程不同，除了課上時間，學生也要花一些課余時間鞏固所學知識．學生在自主學習期間肯定會遇到難題，需要在老師和學生的幫助下才能解決．由于大學數學自身就有一定的難度，學生遇到問題不能及時聯系到數學老師，只能先與學生進行交流來獲得解題思路和方法．數學老師可以幫學生介紹一些數學成績比較好的數學專業的學生或者是研究生對他們進行輔導，幫助完成他們課后的復習工作．通過彼此之間的溝通，學生的學習能力不僅會提升，思維能力也會得到拓展．

2．借助新媒體

隨著時代的進步，網絡學習逐漸成為學習的一種方式．信息網絡在學校的普及，使學生在學校中就能獲得豐富的學習資源，為自主學習打開便捷通道．數學教師可以有目的性的布置作業，讓學生利用網絡有針對性的查詢并作出總結報告，最后完成任務．信息技術的發展，也帶動了數學軟件在課堂上的應用．老師可以提供一些數據，讓學生在課后對其分析，促使他們去學習相關的數學軟件．

3．閱讀數學書籍

篇（5）

作為教師在教學過程中，如何進行創造性教學，使學生具有創造思維的頭腦。是教師的應該深入研究的課題。本文就數學教學過程中如何進行培養學生創造思維一些做法作一些探索。

關于創造思維的概念

創造思維的概念。

所謂創造思維—是指帶有創見性的新思維。它是在創造性的活動中，應用新的方案和程序，創造新的思維產品的思維活動。其不因循守舊，標新立異。主動探索，獨立思索，獨立分析，充滿個性。具體體現在數學活動中，比如獨立地，創造性地掌握數學知識，對數學問題的系統新的闡述；對已知的定理或者公式：“重新發現”或“獨立證明”，提出一定價值的新見解等。均可視為學生創造性思維結果。

創造性思維具有如下特點：

一）獨創性。它具有思維不受過去習慣和已有的模式束縛，創造了新異的，獨特的東西。具有自己創造性的形象。或者有新思路，或者在思考的結論上有首創性，開拓性。

二）發散思維。也叫求異思維。它具有思維標新立異思想。對長期傳統思想方法，不迷信，不遵循，對它們大膽質疑，挑戰和背叛。它具四個特征，1）流暢性：在短時間內表達出觀點和設想的數量；2）靈活性：多方向、多角度思考問題的靈活程度；3）獨創性：產生與眾不同的新奇思想的能力；4）精致性：對事物描述的細致、準確程度。

三）聯想性。面對某一情景，思維方向可向縱深發展，反向發展。也可向橫向發展。也可向上，下發展。多方向發展。根據亞里士多德的聯想定律，我們可以從三個方面進行聯想：1）相似聯想：性質、外形有某種相似性的事物表象進行聯想；2）相反聯想：對性質相反或外形有鮮明對比的事物表象進行聯想；3）相關聯想：對并不相似但在邏輯上有某種關聯的事物表象進行聯想。聯想的事物都是在性質上、外形上或邏輯上具有某種聯系，按上述三方面聯想出的表象愈多，愈有利于對表象的整合與重構，即愈有利于想象。

四）是直覺思維。直覺思維是指不受固定的邏輯規則約束，直接領悟事物本質的一種思維方式，在直覺思維過程，人們以已有的知識為根據，對研究所有問題提出合理的猜想和假設，其中含有一個飛躍的過程，往往表現為突然的認識和領悟，直覺思維的特性主要表現在思維對象的整體性，思維產生的突發性，思維過程的非邏輯性，思維結果中的創造性和超前性，以及思維模式的靈活性和敏捷性。亦具有偶然性、不可靠性，模糊性等特點。它在創造性思維活動的關鍵階段起著極為重要的作用。扎實的基礎是產生直覺的源泉。

關于數學教學中師生的創造思維的活動

一、在數學教學過程教師要有創造性思維教學的思想。

在數學教學過程中，首先是教師有創造思維的教學意識，其次要明確創造思維與數學如何聯系，再次有創新的教學手段。例如，教師認真研究創造思維教學的特點，掌握創造思維教學方法。運用多媒體，互聯網等現代先進教學手段。在創造性思維教學中，教師認真地設計問題，創造良好的情境，給予新的、又貼近學生的生活和數學水平的信息，以方便學生能與記憶系統里儲存的數學信息相聯系，利于學生產生聯想，使學生對問題產生濃厚的興趣，從而激發他們學習的熱情。在教學上不要以為僅僅是能使學生理解一些概念、定理，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠使他們能應用這些知識和方法去解決數學中和現實中的比較新的問題。更進一步教會他們今后如何面對新的問題，如何找到新的解決問題的方法的能力。

二、在數學教學中如何培養學生的創造性思維

一）、注意發展學生的觀察能力。

創造性思維仍然是一種思維形式。它脫立不了觀察。它仍然由觀察，分析經驗開始的思維活動。因此我們引導學生學習的過程中，給學生一定的時間，對問題深入觀察，去偽存真。找到隱藏的東西。例1、求值

此題注意觀查到可即得=1；

例2、函數與在同一直角坐標系下的圖象大致是（）

通過仔細觀察，當x=1,函數f(x),g(x)都過（1，1），x=2函數f(x),過點（2，2）g(x)過點（1，1/2）過故選C通過仔細觀察產生聯想，比較容易的解決問題。

二）注意培養學生的發散思維能力

（1）讓學生有思維的空間，切忌滿堂灌，注重過程。引導學生多方思考。可以通過從不同方面思考同一問題，如“一題多解”、“一事多寫”、“一物多用”等方式，培養發散思維能力。多采用“頭腦風暴法”，使每個學生都毫無顧忌地發表自己的觀念，既不怕別人的譏諷，也不怕別人的批評和指責，使每個人都能提出大量新觀念、提出創造性地解決問題的方法。

例3、已知在直棱柱中∠ABC=，∠BAC=，BC=1，M是中點，求證：平面

此題中易知下面主要是證明

。若想到用三角形相似方法證明

不快捷。若想到用解析幾何，只證•=-1就容易。以C為Y軸以為X軸，建立直角坐標系，（0，0）、M（0，）、A（）（0），=-，=，則•=-1，那么。若想到平面向量，只需證向量積=O亦容易。若想到空間向量則以為X軸以為Y軸C為Z軸，空間坐標點也不難建立。用空間向量證明，那么證得也容易。

三）、培養學生的聯想能力

1）、充分信任、尊重學生，鼓勵學生提出問題，發表不同意見。在解題思維上允許“百家爭鳴”，對學生提出與眾不同的意見，給予支持，鼓勵學生的質疑。鼓勵學生大膽猜想。在教學中師生互相交流，和諧互動，探求合理，最佳的解題途徑和方案，激發學生的求知欲望，激發學生的想象力，開發學生的創造潛能。探求中讓創新思維的翅膀，自由自在地異想開天空中飛翔，要注重教學過程，從學習思考中得到思維的發展。愛因斯坦說：想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界一切。我們可經通相似類比聯想，在教學通過同類形的問題供學生分析歸納，再抽象。尋找規律。通過數形聯想，掌握相關聯想。讓學生思維空間更廣闊。解決問題的方法更多。在學習中注意學生的逆向思維，讓思維更活躍。使問題的解決更容易。例如：在研究指數時我們從定義域、值域、函數圖象，函數的單調區間及函數的單調性進行研究，在講對數函數時我們就引導學生聯想指數函數，培養學生對比、相關聯想，同時又更快更好的掌握這兩個函數的圖象及性質。我們在講公式時注意公式的順用，也要注意公式的逆用，培養學生的逆向思維。例3、求下式的值1）；2）1）式中不查表不能計算出值來，但對照公式=逆向思維可得=；對于2）式打開但麻煩，若是逆向思想則有==tan(45+75)=tan120=-在教學中要注意把這種思想告訴學生。一些教師雖然這樣做了，但是他不認識到這是一種創造思維中的逆向思維方式，這種思維方式還將使用到我們更廣闊的現實生活當中。

四）、培養學生的直覺能力

過去過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。而與邏輯思維不同的是：直覺思維是基于研究對整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的最高層次。由于直覺思維的無意識性，它的想象才最是豐富的，發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。教師要注意引導學生從整體觀察，把握大方向，大膽猜想，大膽想象。因為基礎知識、基礎技能的掌握產生直覺的源泉。扎實的基礎是培養學生直覺思維必備條件，所以教師必須注意學生的基礎。設計問題時要與學生的基礎緊密的聯系。

例4）如下圖。在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊為1的正方形，且、均為正三角形，EF//AB，EF=2，則該多面體的體積為

左圖中，取EG=HF=1/2，則GF=1，聯結GA，GD；HB，HC。根據圖形的對稱性，要直覺判斷出三棱錐E-GAD與三棱錐F-HBC的形狀是相同的，體積是相等的。的所以其體積V=這道題，認真觀察圖形，根據對稱產生一些判斷，得出一些結論，加快了解答的速度，直覺思維起到了很好的作用。強調直覺思維，整體出發，直覺判斷，大膽創新，將會使我們青年學生的思維更活躍，更建康地向前發展。

參考書目：

篇（6）

數學教學就是指數學思維活動的教學，對數學思維的研究，是數學教學研究的核心。在數學教學中如何發展學生的數學思維，培養學生的數學思維能力是高中數學新課程標準的基本理念，也是數學教育的基本目標之一。數學教學過程的基本目標是促進學生的發展，按照新課標的基本理念，它不只是讓學生獲得必要的數學知識、技能，還應當包括在啟迪、解決問題、情感與態度等方面的發展。數學思維在學生數學學習中具有重要作用，沒有數學思維，就沒有真正的數學學習，數學教學的一個首要任務是培養學生的思維能力。

把教材知識系統與學生已有認知經驗能夠很好的融合在一起。教學過程中思維嚴謹，邏輯性強，善于啟發誘導。在教學中，教師應有意識地通過知識的傳授，去培養學生深刻的思維能力。比如，講定義、定理時，不僅注意準確解釋詞句的內含外延，而更要注意通過一些實例來指引學生參加結論的導出，以培養學生的概括能力。

數學思維是一個人的優秀品質。一個人有好的數學思維品質是難能可貴的。

1.教師在學生解題訓練中培養學生的數學思維

數學題是數學教學內容的重要組成部分,教師用這些題目去加深學生對所學知識的了解、掌握和運用,也用它們衡量學生對知識掌握的程度,檢驗教學效果。解題過程包括弄清問題、尋求解題思路、寫出解題過程、解答回顧等四個重要環節，第一個環節是解題的起始，第四個環節是解題的歸宿和升華；這四個環節對于培養學生數學思維的嚴謹性、廣闊性、深刻性等優良品質有著重要的意義。

2.教師通過在教學中挖掘知識的內在思想來培養學生的數學思維要有意識的激發學生思維成長

在教學中，教師要十分注意激起學生強烈的學習興趣和對知識的渴求，使他們能帶著一種高漲的情緒從事學習和思考。例如在高一年級講述函數求值域的問題時，我們先從學生初中已學過的（）入手，逐步引導學生，值域，值域，值域，值域，讓其自己發現結論，經過每一步學生自己參與自己總結很自然的他們會總結出這種形式函數的值域問題。這就是解題過程中激發學生的興趣，以激發學生對新知識、新方法的探知思維活動，這將有利于激發學生的學習動機和求知欲。在學生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導他們一環接一環地發現問題、思考問題、解決問題。

3.教學過程中讓學生體會獨立思考，認真思維帶來的樂趣

在教學過程中，讓學生主動參與到學習過程中來，培養其學習的興趣。這對于學生主動思考，獨立思考是有很大幫助的。可以極大的鍛煉學生的數學思維能力。如：橢圓的定義，傳統的教學主要是教師自己拿一段細繩和兩枚圖訂在黑板上演示橢圓的形成過程，然后給出橢圓的定義。這樣的教學方法直接呆板，學生參與少、思考少，而且這樣直接了解橢圓的定義，會造成單純的記憶性，缺少探索性。因而記憶的印象不夠深刻，運用其解決實際問題更難，實際上沒有真正培養到學生的數學思維能力。假如換個角色，由教師為主角演練，換成把數學學習的主動權交給學生，讓學生親自實踐，大膽探索：先讓學生拿出課前準備好的一塊紙板，一段細繩和兩枚圖訂，自己動手畫圖，然后同桌相互評價；其次在兩枚圖訂之間的距離發生變化而繩長不變的條件下對所畫圖形自主進行探索；最后對概念的歸納進行討論，學生試著說出橢圓的定義，教師補充。這樣通過學生自己的體驗，用自己的思維方式，通過獨立思考、合作交流、歸納整理，形成新的知識結構，而且學生之間在討論中相互補充，這樣使他們的直觀感知、觀察發現、歸納類比等數學思維能力在課堂教學活動中得到鍛煉和提高，同時又能真正體現數學課堂教學的本質，實現教學雙長。

另外當學生真正獨立思考，獨立解決問題以后，教師在設置相應的縱向的知識聯系就更能激發學生想象，如在學生掌握橢圓的定義之后。我們可以馬上設置雙曲線的定義問題由距離的和很順利的過渡到距離的差，以激發同學對知識的渴望，形成良性循環。先思考，然后參與，再總結。

4.數形結合的思想的重要性

數形結合的思想是數學中的重要思想，它可極大的鍛煉學生的感官與理性認識的結合。因此利用數形結合，培養學生的數學思維能力是很有必要的。數形結合就是將抽象的數學語言、符號與其所反映的圖形有機的結合起來，從而促進抽象思維與形象思維的有機結合，通過對直觀圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得以解決。例如在介紹絕對值不等式恒成立的問題時：恒成立，求的取值范圍。就可引導學生去考慮絕對值的幾何意義即是距離問題。那么該題即考察數軸上到2與5距離的和的最小值問題，畫出數軸即可解決只需即可。另外在二次函數相關問題的解決時，如在講述二次函數在閉區間上根的分布以及取值問題時，引導同學畫圖像，發現特點，在從理論上去說明，就是將解決問題的所有方法先呈現給學生，讓其自己去發現，去總結如何整合這些資源以利己用。再如，講述函數性質的內容時，單調性與奇偶性的發現就是充分利用了數形結合的思想；解析幾何中的這種應用更為普遍。所有這些都能極大的鍛煉學生的思維能力。

總之，在數學教學中多進行有目的的思維訓練，不僅要讓學生多掌握解題方法，更重要的是要培養學生靈活多變的解題思維，從而既提高學生數學思維能力，又達到發展智力的目的。

參考文獻

篇（7）

在這種情況下，教師沒有急著向學生提供統一的方法，而是鼓勵學生自己去想辦法，而且提出“看誰想的方法好，看誰想的方法多”的激勵性要求，于是這些小家伙的思維就活躍起來，有的學生用一張紙去分別分成4份和6份，然后再選其中的3份和5份進行比較，這是利用了分數學習時最初的知識；有的學生沒有用紙，而是畫了一個圖，然后進行分取；還有的學生在數軸上標出單位長度，然后分別分成4份和6份，并選擇其中的3份與5份進行比較。盡管這些不同方法背后的實質是一樣的，但對于小學生而言，就是不同的思維。而在此基礎上，教師再引導學生去尋找更簡單、更方便的方法時，學生的思維開始由具體的實物轉向了分數本身，于是使分母相同的方法也會逐步清晰。回顧這一教學過程，筆者以為雖然學生所想的方法與最終常用的方法有所不同，但還是體現了學生的思維過程，也說明了學生的思維質量是非常棒的。這也是筆者重點描述學生的發散思維過程，而簡化了最終方法的原因。筆者以為，對于培養學生的發散思維而言，過程的豐富與求異，才能保證結果的深刻。

篇（8）

贊可夫說過：“凡是沒有發自內心求知欲和興趣和東西，是很容易從記憶中揮發掉的。”發散性思維的形成是以樂于求異的心理傾向作為一種重要的內驅力。教師要善于選擇具體題例，創設問題情境，例如：一條水渠，甲單獨修要8天完成，乙單獨修要6天完成，現在甲先修了4天，剩下的讓乙修。乙還要幾天可以完成？學生都能按照常規思路作出（1-1/8×4）÷1/6解答，教師要求用別的方法解答，學生一時想不出，通過教師的引導學生得出了：6×（1-1/8×4），6-1/8×4÷1/6，教師精細地誘導他們的求異意識。對于學生在思維過程中時不時地出現的求異因素要及時給予肯定和熱情表揚，并記上優分以資鼓勵使學生真切體驗到自己求異成果的價值，反饋出更大程度的求異積極性，對于學生欲尋異解而不能時，則要細心點撥。潛心誘導，幫助他們獲得成功，讓他們在對于問題的多解的艱苦追求并且獲得成功中，備享思維發散這一創造性思維活動的樂趣，使學生漸漸生成自覺的求異意識，并日漸發展為穩定的心理傾向，在面臨具體問題時，就會能動地作出“還有另解嗎？”“試試看，再從××角度分析一下！”的求異思考。

二、在變通中培養發散思維

變通，是發散思維的顯著標志。要對問題實行變通，只有在擺脫習慣性思考方式的束縛，不受固定模式的制約以后才能實現，因此，在學生較好地掌握了一般方法后，要注意誘導學生離開原有思維軌道，從多方面考慮問題，實行變通。當學生思路閉塞時，教師要善于調度原型幫助學生接通與有關舊知識和解題經驗的聯系，作出轉換、假設、化歸、逆反等變通，產生多種解決問題的設想。

三、在獨創中培養發散思維

篇（9）

（1）為了提高學生的邏輯活動的能力，則必從概念入手。在教學中教師要引導學生充分認識構成概念的基本條件，揭示概念中各個條件的內在聯系，掌握概念的內涵和外延，在此基礎上建立概念的結構聯系。

（2）引導學生正確使用歸納法，善于分析、總結和歸納。由歸納法推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能對于科學的發現是十分有用的。

（3）引導學生正確使用類比法，善于在一系列的結果中找出事物的共同性質或相似處之后，推測在其它方面也可能存在的相同或相似之處。

2.發散思維的培養

發散思維有助于克服那種單一、刻板和封閉的思維方式，使學生學會從不同的角度解決問題的方法。在課堂教學中，進行發散思維訓練常用的方法主要有以下兩點：

（1）采用“變式”的方法。變式教學應用于解題，就是通常所說的“一題多解”。一題多解或一題多變，能引導學生進行發散思考，擴展思維的空間。

（2）提供錯誤的反例。為了幫助學生從事物變化的表象中去揭示變化的實質，從多方面進行思考，教師在從正面講清概念后，可適當舉出一些相反的錯誤實例，供學生進行辨析，以加深對概念的理解，引導學生進行多向思維活動。

3.形象思維的培養

形象思維能力集中體現為聯想和猜想的能力。它是創造性思維的重要品質之一，主要從下面幾點來進行培養：

（1）要想增強學生的聯想能力，關鍵在于讓學生把知識經驗以信息的方式井然有序地儲存在大腦里。

（2）在教學活動中，教師應當努力設置情景觸發學生的聯想。在學生的學習中，思維活動常以聯想的形式出現，學生的聯想力越強，思路就越廣闊，思維效果就越好。

（3）為了使學生的學習獲得最佳效果，讓聯想導致創造，教師應指導學生經常有意識地對輸入大腦的信息進行加工編碼，使信息納入已有的知識網絡，或組成新的網絡，在頭腦中構成無數信息的鏈。

4.直覺思維的培養

在數學教學過程我們應當主動創造條件，自覺地運用靈感激發規律，實施激疑頓悟的啟發教育，堅持以創造為目標的定向學習，特別要注意對靈感的線形分析，以及聯想和猜想能力的訓練，以期達到有效地培養學生數學直覺思維能力之目的。

（1）應當加強整體思維意識，提高直覺判斷能力。扎實的基礎是產生直覺的源泉，阿提雅說過：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子，以及與其他東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗，對此你就會產生一種正在發展的過程是怎么回事，以及什么結論應該是正確的直覺。”

（2）要注重中介思維能力訓練，提高直覺想象能力。例如，通過類比，迅速建立數學模型，或培養聯想能力，促進思維迅速遷移，都可以啟發直覺。我們還應當注意猜想能力的科學訓練，提高直覺推理能力。

（3）教學中應當滲透數形結合的思想，幫助學生建立直覺觀念。

（4）可以通過提高數學審美意識，促進學生數學直覺思維的形成。美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養學生對數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識。

5.辯證思維的培養

辯證思維的實質是辯證法對立統一規律在思維中的反映。教學中教師應有意識地從以下幾個方面進行培養：

（1）辯證地認識已知和未知。在數學問題未知里面有許多重要信息，所以未知實際上也是已知，數學上的綜合法強調從已知導向未知，分析法則強調從未知去探求已知。

（2）辯證地認識定性和定量。定性分析著重抽象的邏輯推理；定量分析著重具體的運算比較，雖然定量分析比定性分析更加真實可信，但定性分析對定量分析常常具有指導作用（3）辯證地認識模型和原型。模型方法是現代科學的核心方法，所謂模型方法就是通過對所建立的模型的研究來推知原型的某種性質和規律。這種方法需要我們注意觀念上的轉變和更新。

6.各種思維的協同培養

當然，任何思維方式都不是孤立的。教師應該激勵學生大膽假設小心求證，并在例題的講解中穿插多種思維方法，注意培養學生的觀察力、記憶力、想象力等，以達到提高學生創造性思維能力的目的。我們來看下面這些例子：

例1：觀察下列算式：

作用的結果。

再進一步觀察，可以發現3=5-2，4=7-3，4=9-5，…，D=A-B。能發現這樣的規律，正是我們的邏輯思維作用的結果。

何一個創造性思維的產生都是這些思維互相作用的結果。

例2：如圖：在RtABC中，∠ACB=90°，CDAB，垂足為D，求AC的長。請補充題目的條件，每次給出兩條邊。

本題是一個條件發散的題目，條件的發散導致多種解法的產生。事實上，至少存在如下10種解法：

（1）AD，CD；（2）AB，CB；

（3）AD，AB；（4）AD，DB；

（5）AB，DB；（6）CD，DB；

（7）CB，DB；（8）AB，CD；

（9）CB，CD；（10）AD，CB。

已知（1）（2）時，直接應用勾股定理；已知（3）（4）（5）時，直接應用射影定理。只用一次定理即可求出AC，可見已知和結論距離較近。

已知（6）（7）（8）（9）（10）時，需要應用兩次定理才能求解，這五種情況比較，已知與結論的距離遠些。

通過對此題的研究，“窮舉法”在列舉各種已知條件的可能性時得到應用，并體現了發散思維一題多解的思想，更重要的是，學生在觀察中了解了自己的思維層次，在總結、選擇中提高了思維水平，由發散到集中（非邏輯思維到邏輯思維），學生的創造性思維就會逐步形成。

總之，我們要利用各種思維相互促進的關系，把學生的思維習慣逐漸由“再現”導向“創造”，用已掌握的知識去研究新知識，引導他們總結規律，展示想象，大膽創新。

總而言之，我們可以看到，創造性思維既有別于傳統教育所注重的邏輯思維，又并非單純意義上的發散思維，它是由邏輯思維、非邏輯思維、直覺思維和辯證思維所構成的有機的整體，并且是一個人創造力的核心。數學教學應該盡快地轉變思想，從傳統的教育模式向培養創造性人才的教育模式轉變，從傳統教育所強調的邏輯思維向現代社會所需要的創造性思維轉變。這個過程將是漫長的，我們將繼續探索下去。

論文關鍵詞：創造性思維培養協同培養

論文摘要：本文論述了創造性思維研究的現狀，簡單梳理了創造性思維研究的幾種觀點，并鑒于實踐中對于創造性思維研究的成果的應用，列舉了五種較為流傳的創造性思維教學模式，隨后論述創造性思維的本質及構造，討論了創造性思維方法的培養。

著名的未來學家伊薩克·阿西莫夫說過：“二十一世紀可能是創造的偉大時代。那時，機器將最終取代人去完成所有單調的任務，計算機將保障世界的運轉。而人類則最終得以自由地做非他莫屬的事情——創造。”從某種意義上說，人類社會的發展進步，取決于人類飽含生機的創造力。

創造性思維正是探求和創造新知識的思維形式和思維方法。創造性思維由于對于認識世界和改造世界具有極其重要的意義，因此引起了人們越來越多的興趣，成為理論界關注的課題。

教育在培養創新精神和培養創造性人才方面肩負著特殊的使命。要有效地培養出大批具有創新能力的人才，教師首先要先轉變教育思想、教學觀念和教學模式。所謂具有創新能力的人才是指具有創造意識、創造性思維和創造能力的人才，而其核心是創造性思維。所以，創新人才培養理論的核心就是如何培養創造性思維。

根據當代心理學和神經生理學最新研究成果而提出的關于創造性思維的“內外雙循環理論模型”（DC模型）認為，創造性思維結構應當由邏輯思維、發散思維、形象思維、直覺思維、辯證思維和橫縱思維等六個要素組成。而橫縱思維的觀點由于現在仍比較模糊和富于爭議，因此，我們在這里不予論述。

參考文獻：

［1］仇保燕.教學思維方法.武漢：湖北教育出版社，1994：221-235.

［2］張楚庭.數學與創造.武漢：湖南教育出版社，1989：8-10.

［3］王仲春，李元中，顧莉蕾，孫名符.數學思維與數學方法論北京：高等教育出版社，1988：97-101.

篇（10）

什么是構造法又怎樣去構造？構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維范圍，運用構造法來解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助，下面我們通過舉例來說明通過構造法解題訓練學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創新。

1、構造函數

函數在我們整個中學數學是占有相當的內容，學生對于函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的思維的靈活性，開拓性和創造性。

例1、已知a，b，m∈R+，且a<b求證：（高中代數第二冊P91）

分析：由知，若用代替m呢？可以得到是關于的分式，若我們令是一個函數，且∈R+聯想到這時，我們可以構造函數而又可以化為而我們又知道在[0，∞]內是增函數，從而便可求解。

證明：構造函數在[0，∞]內是增函數，

即得。有些數學題似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質得到了簡捷的證明。解題過程中不斷挖掘學生的潛在意識而不讓學生的思維使注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啟發學生思維多變，從而達到培養學生發散思維。

例2、設是正數，證明對任意的自然數n，下面不等式成立。

≤

分析：要想證明≤只須證明

≤0即證

≥0也是

≥0對一切實數x都成立，我們發現是不是和熟悉的判別式相同嗎？于是我們可以構造這樣的二次函數來解題是不是更有創造性。

解：令

只須判別式≤0，=≤0即得

≤

這樣以地于解決問題是很簡捷的證明通過這樣的知識轉移，使學生的思維不停留在原來的知識表面上，加深學生對知識的理解，掌握知識更為牢固和知識的運用能力。有利于培養學生的創新意識。

2、構造方程

有些數學題，經過觀察可以構造一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答。

例3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求證：X，Y，Z成等差數列。

分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細看，題條件酷似一元二次方程根的判別式。這里a=x-y，b=z-x，c=y-z，于是可構造方程由已知條件可知方程有兩個相等根。即。根據根與系數的關系有即z–y=y-x，x+z=2y

x，y，z成等差數列。遇到較為復雜的方程組時，要指導學生會把難的先簡單化，可以構造出我們很熟悉的方程。

例4、解方程組我們在解這個方程組的過程中，如果我們用常規方法來解題就困難了，我們避開這些困難可把原方程化為：

于是與可認為是方程兩根。易求得再進行求解(1)或(2)

由(1)得此時方程無解。

由(2)得解此方程組得：經檢驗得原方程組的解為：

通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于發現，在解題過程中不墨守成規。大膽去探求解題的最佳途徑，我們在口頭提到的創新思維，又怎樣去創新?創新思維是整個創新活動的關鍵，敏銳的觀察力，創造性的想象，獨特的知識結構及活躍的靈感是其的基本特征。這種創新思維能保證學生順利解決問題，高水平地掌握知識并能把知識廣泛地運用到解決問題上來，而構造法正從這方面增訓練學生思維，使學生的思維由單一型轉變為多角度，顯得積極靈活從而培養學生創新思維。

在解題的過程中，主要是把解題用到的數學思想和方法介紹給學生，而不是要教會學生會解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學會一種解題的方法才是有效的"授之以魚，不如授之以漁"。在這我們所強調的發現知識的過程，創造性解決問題的方法而不是追求題目的結果。運用構造方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構造法來解題的技巧，探求過程中培養學生的創新能力。

華羅庚：“數離開形少直觀，形離開數難入微。”利用數形結合的思想，可溝通代數，幾何的關系，實現難題巧解。

3.構造復數來解題

由于復數是中學數學與其他內容聯系密切最為廣泛的一部分，因而對某些問題的特點，可以指導學生從復數的定義性質出發來解決一些數學難題。

例5、求證：≥

分析：本題的特點是左邊為幾個根式的和，因此可聯系到復數的模，構造復數模型就利用復數的性質把問題解決。

證明：設z1=a+biz2=a+(1-b)iz3=(1-a)+(1+b)iz4=(1–a)+bi

則左邊=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|

≥|z1+z2+z3+z4|

≥|2+2i|=

即≥

例6、實數x，y，z，a，b，c，滿足

且xyz≠0求證：

通過入微觀察，結合所學的空間解析幾何知識,可以構造向量

聯想到≤結合題設條件

可知，向量的夾角滿足，這兩個向量共線，又xyz≠0

所以

利用向量等工具巧妙地構造出所證明的不等式的幾何模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理的問題對培養學生創新思維十分有益。

4.構造幾何圖形

對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構造所需的圖形來解題。

例7、解不等式||x-5|-|x+3||<6

分析：對于這類題目的一般解法是分區間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構造雙曲線，求解更簡捷。

解：設F(-3，0)F(5，0)則|F1F2|=8，F1F2的中點為O`(1，0)，又設點P(x，0)，當x的值滿足不等式條件時，P點在雙曲線的內部

1-3<x<1+3即-2<x<4是不等式的解。

運用構造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引導學生掌握相關知識運用到解決問題上來。

又如解不等式：

分析：若是按常規的解法，必須得進行分類討論而非常麻煩的，觀察不等式特點，聯想到雙曲線的定義，卻''''柳暗花明又一村"可把原不等式變為

令則得由雙曲線的定義可知，滿足上面不等式的(x，y)在雙曲線的兩支之間區域內，因此原不等式與不等式組：同解

所以不等式的解集為：。利用定義的特點，把問題的難點轉化成簡單的問題，從而使問題得以解決。

在不少的數學競賽題，運用構造來解題構造法真是可見一斑。

例8、正數x，y，z滿足方程組：

試求xy+2yz+3xz的值。

分析：認真觀察發現5，4，3可作為直角三角形三邊長，并就每個方程考慮余弦定理，進而構造圖形直角三角形ABC，∠ACB=90°三邊長分別為3，4，5，∠COB=90°

∠AOB=150°并設OA=x，OB=，，則x，y，z，滿足方程組，由面積公式得：S1+S2+S3=

即得：xy+2yz+3xz=24

又例如：a，b，c為正數求證：≥由是a，b，c為正數及等，聯想到直角三角形又由聯系到可成為正方形的對角線之長，從而我們可構造圖形求解。

通過上述簡單的例子說明了，構造法解題有著在你意想不到的功效，問題很快便可解決。可見構造法解題重在“構造”。它可以構造圖形、方程、函數甚至其它構造，就會促使學生要熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能并多方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養學習興趣的提高以及鉆研獨創精神的發揮十分有利。因此，在解題教學時，若能啟發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想則能得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力。

參考文獻：