數學思維的主要類型匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學思維的主要類型范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

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中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0113-02

“思維類型”是一個通用概念，大量學者都對其進行了研究。事實上，明確區分思維的類型對教育來說具有重要的實際意義。為了更好地指導大學生的學習，增強他們的創新能力，本文從新的角度對思維類型進行分類，從四種思維類型出發給出學生的學習方法，特別對數學思維方法展開討論，最后再給出創造性思維的徹底性原則。

一、思維類型及其對教育方法的啟發

一般來說人們思維分為下述四種類型：接受快且深刻，接受快但膚淺，接受慢但深刻，接受慢且膚淺。當然最好的是接受快且深刻這種類型，這種類型的人往往自小就表現出天才模樣，他們大都被稱為是神童。可惜的是，他們在贊揚聲中成長，很容易養成驕傲情緒，久而久之他們就不習慣于“艱苦研究”，最后變成平庸之人。王安石的《傷仲永》寫的就是這種情況。所以對第一種類型的學生，我們對他們的愛護首先就是不要多表揚他們（例如各地過分吹捧高考狀元是不明智的做法），其次對他們要多加督促，讓他們養成艱苦學習習慣。列寧小時候聰明異常，他往往很快就完成作業，然后就嬉鬧不止。他的父母很擔心，怕他今后不會踏實學習，除了教育他以外，還時刻注意他。有一次列寧看到他的妹妹坐在鋼琴邊，不停地彈奏一首樂曲，花了許多小時，才把它彈得正確。為此列寧感悟道：做任何事情，沒有堅毅品質是不行的。列寧的父母知道這件事后才放心，他們知道列寧已經懂得養成勤勞習慣的重要性。第二種類型（接受快但膚淺）的人，他們平常的表現最容易使人迷惑：許多復雜的問題他們一聽就懂，可是他們自己做起來卻經常出錯。他們的家長和老師都誤認為這是由于“粗心”造成的，除了告誡他們要細心以外，家長、老師（甚至他們自己）對這種現象都不在意。舉一個例子，初中學生剛學習有理數時，寫負數時往往會遺漏負號，當你向他指出時，他立刻就知道是自己錯了。人們大都認為這是粗心的原因，殊不知是他在他的意識里還沒有真正接受負數這個概念，也就是說他雖然接受了負數概念（也許很快就接受了）但是卻很“膚淺”，他的潛意識里并沒有它的“真正”位置。因為引導學生思想深化是一件困難的工作，所以對于接受快但膚淺的學生，我們也許更應該留心。除了教育他們不要驕傲（這是由于他們接受快而造成的錯誤）以外，還要訓練他們的思維，讓他們養成深思的習慣。（順便提一下，怎樣培養學生養成深思習慣，如同怎樣提高學生的寫作能力一樣，至今都尚未找到特別行之有效的辦法）第三種類型，即接受慢而深刻，在某種意義上它才是最好的一種類型。領會深本是探索一切知識的必要因素，可是他具有這種優越品質而不覺，有時他還為自己接受慢而苦惱，這樣他對學業從不掉以輕心，為了克服自己接受慢的缺點，他總是“笨鳥先飛”，這樣在漫長的學習生涯中，他養成一種堅忍不拔的品質，這又是一個獲得成功的必要條件。第三種類型的人“天然”地具備了成功的兩個最重要的因素，所以大部分在學術上有成就的人都來自于他們。據說牛頓、愛因斯坦小時候都很“笨”，倘若真是這樣，這便是上面論述最好佐證。另外的例子是真人真事，20世紀偉大的數學家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一經接受，在運用和進一步發展這些思想上，就沒有人能和他比擬了。至于第四種類型的人，雖然他們在學業上很費力，但他們的成功機率并不比第一、二種類型的人要少，甚至還要大于第二種類型的人。這種人只要不放棄努力，那么在他艱難的學習過程中，自然會養成一種深刻鉆研的稟性，此是“勤能補拙”之謂也，這正是一切在學術上獲得成就的人所要必備的主要品質。明末清初的一位歷史學家談遷，小時候很愚笨，記性差、反應慢，他對自己所讀的書籍很難弄懂，他很苦惱，不過他鍥而不舍，經常讀書到深夜，由于長期的努力，他終于大徹大悟，從此他便突飛猛進，成為那個時代最有學問的人之一。金庸小說《射雕英雄傳》里的郭靖大概就是這種類型人的最好寫照。總之，無論是哪種類型都有成功希望，只不過有的開始要多費點力氣而已。“聰明”并不是人成功的不可缺少的條件，最重要的是人的刻苦和堅忍，而且隨著人們的成長，差的類型在不斷刻苦努力下，也會迅速朝著最好類型轉化，李白說“天生我材必有用”，是千真萬確的。

二、數學思維方法和數學學習方法

在一切學科中，數學是一門最重要而且最奇怪的學科。它研究的問題似乎虛無飄渺，并不接觸現實世界，但卻有莫名其妙的大功效。麥克斯韋爾認為，研究問題時首先要引入數學概念，以他的名字命名的著名方程就是以這種方法推導出來的。狄拉克也認為，應該遵循數學方向前進，因為“正電子”也滿足以他的名字命名的方程，所以他預言“反物質”正電子的存在，幾十年后人們果然在宇宙射線里發現了它。也許最值得一提的是，陳省身的“纖維叢”幾何學理論，竟然可以平行移動到楊振林的“規范場”物理理論里，對此楊振林感嘆地說：數學家研究數學問題時，根本沒有考慮到物理世界，而卻能深刻地闡述世界，這真令人驚嘆。如今關于物質粒子最新研究的“弦理論”也和數學家丘成桐的微分幾何成就有密切關聯。計算機科學和數學理論的關系同樣也非常密切。就連過去一向被認為是最難找到實際用途的數論也在計算機科學里發揮著重要作用，例如大整數質因數分解定理豐富了密碼學方法：RSA公鑰系統，根據大整數的分解，它采用“公鑰”和“私鑰”技術。[1]由此可見，在數學上花費時間是值得的。一般人并不喜歡數學，他們或者認為數學枯燥無味，或者認為數學深奧難懂。在人們心目中，數學里只有推理，沒有猜測；只有邏輯，沒有藝術；只有抽象，沒有直觀；只有理性，沒有想象。人們感到數學的結果是一步一步推出來的，沒有過人的聰慧是不行的。然而，幸虧事實并非如此，否則我們的數學就不會興旺到如它目前所示，它早就不會吸引任何一個有智慧的人。其實數學是一門融合了人類一切認識世界方法的學科，只是在它整理自己的知識時，才采取了“定義”、“定理”和“證明”嚴格方式，這是為了保證它的結論準確無誤所致。但是這并未妨礙人們用其他方式獲得數學知識，其實最偉大的數學家在他們思考問題時，都是憑借直觀（甚至是最粗糙的直觀）前進的，特別是當他們在做劃時代事業時，更依賴直覺，甚至有時連邏輯也不顧。這在牛頓和萊布尼茲創立微積分時特別明顯。本段敘述直接來自于文獻[2]。明白了上面道理，我們建議：要在感性上下功夫，要理解數學精神實質，即要有數學質感。對數學的學習要運用人類一切認知手段，即實驗、猜測、直觀推理、試錯法、合情推理和正統的邏輯推理；對于基本知識要有透徹了解，基本技能要熟練掌握。對于較難或者很難的題目，應該努力解決它，真正解決不了，也不要氣餒，可以暫時放下，“歷史總是帶著問題前進的”；對一門數學學科，如果你感到對它的任何一個習題，只要有時間你就可能會做出，即使不會做，但對別人做出的看一眼就會，那么這門學科你就基本過關了，沒有必要搞題海戰術，這是我國著名物理學家嚴濟慈的觀點。

三、徹底性原則

創造性思維最顯著的特征就是徹底性。歐氏幾何里有一條平行公理：“在平面內過直線外一點，能且只能引一條直線和它平行”。但在歐幾里德的《幾何原本》里，很遲才引入平行公設，且敘述很啰唆，并不像上述的那樣簡練。后人懷疑歐幾里德并不想把它作為公理，只是“證不了它”，才不得不把它作為一條公設采用。后來的數學家們躍躍欲試，用各種方法試圖證明它，就這樣證明了一千多年。不少人采用“反證法”，得出許多奇特結果，可惜他們認為“荒謬”，就匆忙下結論說，他們發現了矛盾從而證實了平行公設。只有高斯、鮑利埃、羅巴切夫斯基和舊觀念，即認為“歐氏公理體系是唯一正確的”，徹底決裂，他們發現了非歐幾何。高斯懼怕舊觀念勢力，鮑利埃患得患失，他們都沒有發表他們的工作，只有羅巴切夫斯基勇敢地發表了他的成果。[3]同樣，愛因斯坦相對論和量子力學也都是徹底摒棄舊有觀念的好例子。舊有觀念根植于人的潛意識里，人們很難發現它，更難突破它。誠如一位物理學家說，他花了好幾年工夫才真正弄懂相對論，不是由于他知識的缺陷，而是由于他頭腦里的固有觀念妨礙了他的理解。他的話有助于我們理解突破舊觀念時，堅持徹底性原則的重要性。只要是創造性工作，哪怕是很小的創新，實質上都是在突破我們潛意識里某個舊有觀念。希望有所創造的人，對此不可不察。

對思維類型做深入的反思和研究，可以及早發現學生的思維特點，進而就可以給予學生有效的指導和引導，并且我們還要鼓勵學生創造性思維，努力攀登科學的頂峰。

參考文獻：

[1]Michael Sipser.計算理論導引[M].張立昂，黃雄，譯.北京：機械工業出版社，2000.

[2]王健吾.數學思維方法引論[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

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關鍵詞：

類比思維；高中數學；解題應用

所謂類比思維就是從兩個事物之間在某些方面的相似中推出其他事物相同或不同屬性的思維推理模式。包括：通過新事物對已掌握知識進行回憶與鞏固的聯想模式和通過類比在不同事物間查找相似、相異之處的思維模式。類比思維的運用，可有效提高數學解題效率，培養和提高學生的綜合素質能力。本文就自身在高中數學解題中的實際經驗，總結類比思維在解題實踐中的有效應用，與大家分享如下：

一、類比思維在高中數學解題中的重要性

在高中數學學習中，有效的學習方法很多。類比思維作為高中數學解題中的一個重要思維模式，在實際應用中顯示出了它獨特的重要性。首先，基于類比思維的解題，我們能夠將新舊不同知識進行全方位、有效的對比，從而強化我們已有的記憶并對不同知識面進行分類區別，避免了所學知識的混淆，也有助于消除我們學習中的不良習慣。類比思維的解題，還有助于我們積極構建已學知識的知識網絡，使學習和應用更具清晰化、條理化。通過類比思維在數學解題中的有效應用，我們能夠更加深入的理解數學知識并培養和提高我們的自學、自創和自行研究問題的能力。創新能力的不斷培養拓寬了我們對數學解題的思維模式，提高了學習興趣。總之，在類比思維的運用中，我們能夠不斷向未知領域前進，并提高自身的數學學習能力[1]。

二、類比思維在高中數學解題中的有效應用

在高中數學學習中，很多人感覺很吃力，學習成績不夠理想。從高中數學整體的學習上來看，如果我們能夠掌握科學合理的學習方式，也就能夠快速有效地解決數學問題，從而提高學習效率和學習成績。這時類比思維作為數學解題思維的重要模式之一，在實際應用中就顯示出它獨有的有效性。現就以位置關系、概念、圖形特征等類型的數學問題為例，闡述類比思維在解題中的具體運用。

1、基于位置關系類型的類比思維應用

高中數學學習中，幾何知識內容比較豐富，并具有一定的抽象性。繁雜而抽象的理論增加了我們對知識的理解難度。如何學好幾何知識和有效解決系列問題，對同學們的邏輯思維能力就有了較高的要求。而類比思維在學習中的有效運用，使我們瞬間能夠明白幾何圖形的相交、相切、相離等多種位置關系，對高效解題十分有利。類比思維在其中的運用重點是，尋找相似知識點之間的不同，進行對比著記憶和學習[2]。在運用類比思維時，我們必須對知識的異同點加以準確、有效的把握，才能更好運用類比思維來解題。例如：在“直線與圓的位置關系”和“圓與圓的位置關系”中，容易混淆的知識點比較多，所以我們在學習中就應該積極尋找二者的差異，必要時可在草紙上畫出二者之間的位置關系。這樣我們的解題思路就能夠更加清晰，更有效地高效解題。

2、基于概念類型知識的類比思維應用

在概念類型的知識教學中，我們也可以運用類比思維，同樣能夠取得良好的學習效果。以代數為例：在學習過程中，諸多抽象的概念需要我們加以有效理解。如果相類似概念同時出現，則難以有效區分。如果我們通過類比法對數學概念進行區別學習，以了解相似概念之間的相同和不同點，對以后學習知識的推進非常有利。例如，在“推理與證明”知識內容的解題中，演繹法和歸納法兩個概念相類似，使我們在解題過程中極易產生誤區，降低解題效率。運用類比思維于其中，將兩種概念的解題方法、應用方式進行類比分析，使復雜問題簡單化，同時也能夠使我們對二者的概念加以更加深入的理解。

3、基于圖形特征類型的類比思維應用

立體幾何是高中數學的重難點，在學習立體幾何時，對我們抽象思維、邏輯思維的要求更高。如果不能對立體幾何圖形知識內容加以有效的把握，則難以解決數學難題。在學習中，圖形特征是比較容易混淆的知識點。基于此，我認為，對立體幾何的圖形特征學習中，可運用類比思維，不僅能夠快速尋找圖形特征的差異，而且可強化自身對數學知識內容的記憶。例如，圓柱、球臺、圓錐等立體幾何圖形，雖然都具有各自獨特的特點，但是受諸多因素的影響，使我們在解決數學問題過程中，可能對各立體幾何圖形的特征不能有效把握。因此，在引入類比思維的條件下，我們為區分各圖形特征，可自己動手制作各圖形的模型，并對圖形的側面進行展開，以更好區分各自的不同。可見，類比思維在圖形特征類型知識內容中的有效應用，對解題十分有利[3]。

三、結論

在高中數學解題過程中，可運用的數學思想模式相對比較多。類比思想作為其中的一種重要思維模式，它貫穿于高中數學學科的始終。通過對該思維模式在解題中有效應用的研究，使得數學學習不再成為難題，也有效地提升了我們在學習中的主動性、創造性，培養了良好的思維方式和正確的學習習慣。在學習中也不斷提高了我們對數學學習的濃厚興趣，為將來進行數學科學研究奠定良好的基礎。

作者：梁雨田 單位：內蒙古省包頭市第九中學高三18班

參考文獻：

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中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2013）09-0164-02

數學學習的本質，是思維培養的過程。而數學思維的形成主要是從問題開始的。數學學習中學生良好思維的形成主要依托于教師對問題的設置，相比其他學科而言，提問在數學學科課堂教學中的重要性更為突出。提問是否得法，直接影響著數學課堂教學高效性的實現。

為了發現課堂教學中教師提問中存在的主要問題，2011年我縣中學數學課堂觀察組對兩所中學的八名中學數學教師的九節數學課，進行了2個緯度、9個視角、23個點的課堂觀察及分析。根據課堂觀察組提供的數據，我就"維度二教師教學：觀察教師的主要教學行為"的"視角八提問"中1提問對象、次數、類型、結構、認知難度、候答時間；2、教師理答方式和內容如何？有哪些輔助方式？是否有效？這兩個觀察點進行陳述和分析，并提出教學建議及應對策略。

1.教師各種類別提問行為中存在的問題

通過本次課堂中各種提問行為類別頻次的觀察分析，目前課堂教學中提問的現狀主要存在以下幾點問題：

1.1提出問題的類型單一，并且提出的問題指向性不明。教師在課堂上發問隨意，無效問題較多，消耗了學生的精力，消磨了學習數學的興趣，不利于學生思維多角度、深層次發展。學生回答問題類型觀察結果，也印證了教師提問類型單一結構不合理這一現象。觀察結果顯示，教師提出的常規管理性問題的比例過高，而提出的推理性問題（理解性問題）、創造性問題（發散性問題）、批判性問題（評價性問題）太少。數學課中過多的常規管理性問題擠占和沖擊了學生數學知識的學習和數學思維的發展，因此學生只能回答一些能夠通過模仿、記憶等淺層思維學習到的認知記憶性問題，而不能夠回答或提出反映思維的邏輯推理性、創造性的問題。其原因是：

1.1.1教師的數學專業知識不足。因此教師教師不能夠站在一定的高度把握問題的本質去設計問題，設計問題的深度或廣度不夠。如，在教學"蒲豐投針"問題中，教師如果了解探究"蒲豐投針"的本質，是找針與平行線相交無關的因素，教師就會有效提問并指導學生的思維方向。

1.2.1課堂教學任務較重，教師沒有過多時間關注各個層次的學生。從初中數學的教學任務來看，一般情況下每節數學課至少涉及5個新舊概念，既要求掌握知識點又要在舊知識基礎上形成新概念和新技能。教師為了完成教學任務，往往會趕課而忽略不同想法、不同思路的學生。

1.2.2教師不能更多的站在學生的角度思考問題、設計問題，因而教師忽略了知識在學生思維中形成的過程，只注重所需要的結果，提出的問題缺乏梯度于層次。

1.3教師在提問中缺乏策略意識。為了激勵學生關注課堂、關注問題，教師可以設計適當的問題情景來吸引學生；或者，引入適當的評價機制、競爭機制激勵學生。如，在教學"三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊"時，可以創設情景：老師手中的教鞭、粉筆、學校的旗桿，這三樣東西能構成三角形嗎？這樣創設情景的好處在于，教鞭、粉筆、旗桿學生很熟悉；長短對比強烈，激發了學生探究的好奇心。

2.提高教師課堂提問有效性的對策

2.1教師要繼續加強數學專業知識的學習。國家對教師在學歷上的要求體現了教師必須具備學科的專業知識，正所謂"深入才能淺出，屋才能建瓴"。教師掌握過硬的數學專業知識，提出的問題更有針對性和目的性，也是有效提問的基礎。

數學教師要①掌握必須的數學知識及數學學習方法，了解小學、初中和高中各個階段的數學教材內容及他們之間的關系；②研究教材編者對各部分內容設計意圖；③把握課標對每階段、每部分的要求。

2.2教師要積極參與學科教學知識技能的交流和培訓學習。學科教學知識是指教師將自己所掌握的學科知識轉化為學生易于理解的知識，體現為教師知道使用怎樣的演示、舉例、類比、提問來呈現學科內容。美國心理學家艾伯特?梅拉別恩的實驗說明：信息的總效果=7%的文字+38%的音調+55%的面部表情和動作。可見，非言語行為在信息的表達中起著非常重要的作用。掌握豐富的數學學科教學知識和技能，能讓更多的學生參與到思考問題、解決問題與提出問題當中，使學生的學習學習興趣更濃厚，學習更加深入，思維空間更加廣闊。

2.3教師要關注分層問題的設計。一個班，學生現有的知識水平各不相同，教師要關注全體學生的發展，就要設計出適合不同層次學生的問題，使各個層次的學生都有思考、展示的空間，有體驗思考帶來快樂的機會。

2.4教師要給學生足夠的思考時間。根據調查顯示，普通學生對一般難度的問題的思考時間大概為3-5秒，因此教師提出問題后，要給不同的學生留足夠的時間思考問題，也可借助小組合作學習互助學習，使各個層次的學生都形成較完整的思路，再回答問題或提出問題。

2.5教師要充分尊重有不同見解的學生，注重生成新的課堂資源。不同的學生總會有不同的想法和思路，教師不僅要充分尊重不同于自己預設思路與答案的學生，而且要善于將課堂中新的生成作為鮮活的課堂資源，進行概括總結和提升。

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數學教育要給予每個人在未來生活中最有用的東西。因此，我們在數學教學中不能把目光停留在數學知識的講解和解題方法的運用上，而應以它們為載體，加強對學生思維能力的訓練。

現代教學論認為，數學教學是數學思維活動的教學。數學教學培養的是學生的思維習慣和思維品質，是數學思維教育素質化的重要內容。思維培養的成功與否將直接影響數學教學質量的提高，影響著中學數學教育改革的深化與發展。

數學思維是人腦和數學對象(空間形式與數量關系)互相作用并按一定規律產生和發展的。數學思維的種類有很多，從具體形象思維到抽象邏輯思維，從直覺思維到辨證思維，從正向思維到逆向思維，從集中思維到發散思維，從再現性思維到創造性思維，從中體現出了多種多樣的思維品質。如思維的深刻性、邏輯性、廣闊性、靈活性、創造性、發散性等。我認為，高中數學教學中主要應通過對學生思維品質的培養達到提高思維能力的目的，具體體現在以下幾個方面：

一、注重對基礎知識、基本概念的教學

高一學生，從初中數學到高中數學將經歷一個和很大的跨度，主要表現在知識內容方面的銜接不自然，對高中數學抽象的數學概念、數學形式極不適應。比如第一冊第一章的集合與簡易邏輯，表面上看似很簡單，而實際運用中卻不能準確把握那些用集合語言所描述的題目含義。再如第二章函數，這是高中數學中的重點內容，教師會花很大的精力去講授，學生會都會下很大力氣來做題，結果卻不如人意。學生做題時主要是在解具體題目時很難與基本概念聯系起來。如經常遇到的二次函數問題，有時是求值域，有時是解方程或不等式，學生感到茫然。我把它們統一在一起，強調二次項系數對稱軸、判別式等幾個因素，幫助學生克服了思維的無序性。這一章內容是思維方法從直觀到抽象、從離散到凝聚的過渡，是訓練學生思維深刻性和廣闊性的重要階段。

二、加強數學思想方法的滲透

高中數學的四大數學思想和十幾種數學方法是教學的關鍵與靈魂。一是解題的方法。為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中應結合具體問題，教給學生解答的基本方法、步驟。二是數學思想方法。思想方法把不同章節、不同類型的數學問題統一了起來，如數形結合思想培養了思維的形象性、創造性，化歸思想提高了學生的靈活性、辨證性等。如換元法是一種常見的變形手段，它不只限于解某一章或某一類的問題。注重對這些思想方法的滲透，可以提高學生歸納總結及聯想能力，將數學知識和方法的理解提高到一個新的階段，這對思維品質的培養十分有益。

三、挖掘數學例題習題的功能

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小學高年級是學生學習的關鍵階段，對學生走進初中具有基礎性作用，且知識的難度也有了提升。與一般的課程內容不同，小學高年級數學對解決問題的要求非常嚴格，題目類型多樣，需要學生具有較強的邏輯能力，在解題中可以實現舉一反三。但是由于教學上的不足和傳統思想的影響，我國小學生的數學解決問題的解題能力還非常薄弱，無法找到正確的解決對策，甚至會導致學生產生厭學情緒。本文結合我國小學高年級數學解決問題教學的現狀，簡單闡述教學中面臨的問題，并根據實際提出突破教學的科學對策，促進學生的全面發展。

一、目前小學高年級數學解決問題教學存在的不足

就目前來看，小學高年級數學解決問題教學主要存在以下三個方面的不足：

第一，教學形式單一。小學生以形象思維為主，興趣的培養是學習的前提。但現如今，我國小學高年級的數學解決問題教學仍舊存在單一化的傾向，教學中沒有利用現代化設備，教學方式只有枯燥的講解，方法單一、封閉，不利于調動學生的學習興趣。

第二，解決問題講解“類型化”。解決問題題目多種多樣，類型豐富，然而很多小學教師卻只是憑借經驗，將解決問題分為幾個簡單的模塊，讓學生盡快掌握解答技巧，實際上很多學生只是機械地記住了答案，根本沒有理解其中的道理。

第三，忽視了對學生數學思維的培養。據調查，目前小學高年級的數學解決問題教學仍舊在搞“題海戰術”，不斷地讓學生做類型題，使學生的數學思維被嚴重僵化，不利于學生發散思維的培養。

二、小學高年級數學解決問題教學的突破策略

（1）通過多樣提問調動學生的學習熱情。小學高年級學生正處于思維活躍時期，教師要突破傳統數學解決問題教學存在的弊端，就必須利用多樣化的手段增加問題類型，將教學活動變得更加富有樂趣。另外，多樣化的提問還可以調動學生的思維，使其擺脫思維局限性。例如，題目小紅有10支鋼筆，小明的鋼筆數量比小明的2倍少4支，小明有多少支鋼筆？教師在講解完問題之后，可以再提出另一個問題：小明比小紅多幾支鋼筆？再次調動學生的思維，讓學生產生積極的學習情緒，提高數學解決問題的學習效率。

（2）利用畫圖分析法培養學生的抽象思維。學生以形象思維見長，對于抽象的解決問題有莫名的畏懼心理。其實，只要學生理清數量關系，建立數學模型就能很順利地列出數學式子，解決問題。數學解決問題對學生的邏輯思維、數學能力具有很高的要求，教師必須能夠通過畫圖表的方式向學生傳授分析問題的辦法，幫助學生理清解題思路，找到解題技巧。例如，小明買了一本280頁的漫畫書，計劃用7天看完。實際每天比計劃少看5頁，這本書實際看了多少天？列表分析：

借助這種列表的方式，可以讓學生直觀清晰地看到出題人的意圖，然后快速地解決問題。學生在獨自面對其他解決問題時，就可以順利建模，觸類旁通，提高解題效率。

（3）讓學生自編數學解決問題。想要提高解題能力，降低解題難度，教師在完善自己教學水平的同時，還要對學生的自主探究能力進行培養，只有會編題目的學生才能夠解答問題。因此，結合教材的內容和教學的重點，教師可以適當讓學生編撰題目，根據自己生活經驗提出問題。例如，根據買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少X？學生就自主編寫了：3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5 臺拖拉機6天耕地多少公頃？這樣的題目，對自己的能力有了明顯的鍛煉。

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隨著新課標教學理念的不斷發展，廣大數學教育工作者對數學應用題進行了認真的反思和進一步改革。數學應用題是用來解決問題的，因為大多數的數學應用題來自于生活之中。所以，數學應用題的解答和分析一直是教育工作者致力研究和探討的問題。我們可以根據小學數學應用題的解答特征，深入分析其關鍵所在，讓學生利用在數學應用題中所學到的解答技巧，去解決實際生活中的問題。只有通過對數學應用題的充分認識，把握好解答策略，才能更好地促進學生思維能力發展。

1.簡析小學數學應用題的特征

小學數學應用題是通過自然的語言表達，再利用小學數學中所學的相關知識，解決現實生活中遇到的問題的一種題型。學生解題可以采用先對題意進行審閱，即審題；然后根據相關題意進行解題計劃；接下來執行原先的計劃；最后驗證的步驟。在這些解題的步驟中將會涉及數學知識、相關的應用題術語、語言知識和現實生活中的常識。就小學數學的應用題具有的特點而言，其特征可以分為典型類型及語言特點。

1.1小學數學應用題的典型分類

小學數學的應用題類型還是比較多的，其中都是以基礎的、簡單的、系統的題目為主要類型。小學數學應用題中的雞兔同籠問題就是一個典型類型的例子。運算過程中使用到的都是整數的運算，需要運用到的知識也就會有所不一樣了。小學數學應用題的解答可以通過歸類知識的方法，找出這種類型特點的題型是用哪些知識去解答，這樣才能更好地解決問題。

小學數學每個階段的應用題涉及的問題也是不盡相同的。小學一至三年級的數學應用題一般分為一步應用題和二步應用題這兩種類型。一步應用題大多是求和題，如求一個數比另一個數少了多少等。一步應用題中的整體部分題，求整體未知的例子：美術手工課上，麗麗做了12朵小紅花，丹丹做了15朵小紅花，求她倆一共做了多少朵小紅花？二步應用題則是有減乘題、加除題，等等。例如：家里有一些鉛筆，每盒有6支，哥哥事先用了3盒，現在還剩下5支，原來家里有多少支鉛筆？

1.2小學數學應用題具有的語言特點

小學數學的語言主要是用來表達應用題中的數量與數量間的關系，在數學應用題的語言與平常所用到的語言不同的是：語義明確，表達簡單。數學應用題的語言是用于表述數量間的關系，因此，在句法層面和詞義表達都與平常的語言存在差異；數學應用題的句型大多為流水式句型，通常是用不同的詞義去表述這個主語，例如：“同學們給果園收蘋果，已經裝了68筐，每筐38千克，還剩530千克沒有裝筐，把這些水果平均分4次運出，一共運出多少千克？”這道題中第一、第二句共用同一主語“同學”，第一、二、三、四句共用同一賓語“蘋果”。流水句式的特點是小句中有小句，層層嵌套。數學應用題中的這種特點對學生解析和理解是有一定難度的。識別流水句的結構關系，找到相互銜接的關系，是解決應用題的重點。

2.小學數學應用題的解答策略

為探求數學問題的答案過程中采用的方法的認識，這就是解答策略。當前，針對小學數學的解題策略的探討是較為雜亂的。我們可以從數學解題的方法和非數學解題策略的框架入手對小學數學應用題解答對策進行分析。

2.1圖式策略

小學數學應用題解決的關鍵是要學會用圖式的作用。小學生的數學圖式能分為三個等級去分析。

第一種，小學生年齡小，感知還不是很強，可以通過運用事物的操作，對題意進行直接仿照，構成問題的情景特征。

第二種，利用圖式的功能去記住題意中一些關鍵的數據及相互的關系。

第三種，用圖式的關系表述部分與整體間存在的聯系，能夠使小學生對需要解決的問題中的信息有清晰的表征。

2.2結構策略

根據數學應用題的關系可以得到從已知數到已知數，從未知數到已知數的關系。經過整理可以有三種模式：由一個已知數與另一個已知數的關系，基于這樣的數量關系可以解答這個未知數；先前已解答出的一個未知數與一個已知數的關系可以解決這個未知數；由兩個已經解答出來的未知數，在已經建立的數量關系基礎上解答出這個未知數。由以上三種情況，我們可以運用綜合法與分析法進行解題策略。數學應用題的解答策略在運用的過程中，需要注意根據不同年級的學生能力水平的實際情況而定。對于低年級的數學應用題較為簡單，我們可以采用綜合的分析方法，對待高年級的數學應用題數量間的關系較為繁雜，則可以適當采取兩者的方法進行解答。

2.3非數學解題對策

非數學解題策略就從數學以外的視角進行剖析的方法。這樣能夠突破數學的思維，有利于培養學生的邏輯思維能力，開闊學生的思維視野。非數學解題策略主要有語言描述策略、生活化策略、應用策略等。語言策略的應用題，例如：“兩個車站間的距離是354千米，甲乙兩輛車同時從兩站開出，相向而行，4小時相遇，甲車每小時行35千米，乙車每小時行多少千米？”這是一個路程問題，用了速度、時間和路程的概念，還涉及一些相關的專業詞匯“同時”“從兩地開出”“相向而行”“相遇”，老師在分析的過程中應注意相關的細節，幫助學生理清思路。

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一、強化基礎訓練，掌握數量關系

基本的數量關系是指加、減、乘、除法的基本應用，比如：求兩個數量相差多少，用減法解答；求一個數是另一個數的百分之幾，用除法解答；求一個數的幾倍是多少，用乘法解答等。任何一道復合應用題都是由幾道有聯系的一步應用題組合而成的。因此，基本的數量關系是解答應用題的基礎。在復習時，我特意安排了一些補充條件的問題和練習，目的是強化學生的基礎知識。使學生看到問題立刻想到解決問題所必需的兩個條件；看到兩個條件能迅速想到可以解決什么問題。在此基礎上再出些有助于訓練發散性思維的練習題。如給出兩個條件：甲數是10，乙數是8，要求學生盡可能地多提出些問題。練習時，先要求學生提出用一步解答的問題，如“甲數比乙數多多少”、“乙數比甲數少多少”、“乙數占甲數的幾分之幾”等。然后再要求學生提出用兩步解答的問題，如“甲數比乙數多幾分之幾”、“乙數比甲數少幾分之幾”、“乙數占兩數和的幾分之幾”等。對于常用的數量關系，復習時我還采用給名稱讓學生編題的練習形式。如已知渭酆妥薌郟編求數量的題目；已知路程和時間，編求速度的題目等。通過這種形式的訓練，使學生進一步牢固掌握基本的數量關系。為解答較復雜的應用題打下良好基礎。在編題訓練的過程中，還要注意指導學生對數學術語的準確理解和運用。只有準確理解，才能正確運用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，擴大，縮小等。發現錯誤，及時糾正。對易混的術語，如減少了和減少到等要讓學生區別清楚。

二、綜合運用知識，拓寬解題思路

能夠正確解答應用題，是學生能綜合運用所學知識的具體表現。應用題的解答一般采用綜合法和分析法。我們在復習時側重教給分析法。例如：李師傅計劃做820個零件，已經做了4天，平均每天做50個，其余的6天做完，平均每天要做多少個？分析方法是從問題入手，尋找解決問題的條件。即：①要求平均每天做多少個，必須知道余下的個數和工作的天數（6天）這兩個條件。②要求余下多少個，就要知道計劃生產多少個（820個）和已經生產了多少個。③要求已經生產了多少個，需要知道已經做的天數（4天）和平均每天做的個數（50個）。在復習過程中，我注重要求學生把分析思考的過程用語言表述出來。學生能說清楚，就證明他的思維是理順的。既要重視學生的計算結果，更要重視學生表述的分析過程。

三、系統整理歸納，形成知識網絡

在應用題復習中，一題多解是溝通知識之間內在聯系的一種行之有效的練習形式。它不但有助于學生牢固地掌握數量關系，而且可以開闊解題思路，提高學生多角度地分析問題的能力。例如：一個修路隊，原計劃每天修80米，實際每天比原計劃多修20%，結果用12.5天就完成任務。原計劃多少天完成任務？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③設計劃用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④設原計劃用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、進行同類題型歸類，并有針對性的進行訓練

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由于初中學生的年齡特征以及知識結構的限制，在初中階段往往習慣于“靜態”思維，而高中數學無論從思維的廣度和深度上都有很大的提高.所以，為了讓學生更好地感知高初中數學的區別，我們讓學生開始體味靜、動態思維的區別.

二、應變能力的初、高中銜接

目前不少學校在解決初、高中銜接問題時，往往在高一新生入學的幾個星期內集中復習一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數等內容，這些做法從知識的整體結構來考慮有一定好處，但如果不加創造性地復習往往會抹殺新生的“求新感”，容易產生厭煩情緒.下面以“一元二次”為例談談我們的做法，主要是如何搞好應變能力的銜接.

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1.粗心大意型。從心理學的角度來看，粗心是一種非智力的負面因素，是受人的素質和氣質的雙重影響而形成的。小學生正處在心理、生理急速變化的階段，于是粗心大意是他們司空見慣的行為，覺得無所謂。而這類錯誤又是學生出現最多的，占練習錯誤率的百分之四十。不管是學習成績好的，還是一般的、差的學生都有這種犯錯現象。其原因有：一是貪玩、惰性造成的，學生把作業看成一種負擔，希望盡快完成，早點出去玩，更不會檢查；二是馬虎使然，審題不仔細而出錯；三是做作業時思維不嚴謹而出錯。要克服這一現象，除了教師要經常強調學生細心外，還要讓學生養成做完作業后檢查的好習慣。

2.解題策略型。由于小學生理解題目的能力及抽象水平較低，對題目要求不理解而導致出錯。這一類錯誤占百分之三十。具體出錯類型有三種。第一種是知識混淆致錯。如下面兩題：（1）一根鐵絲長15米，用去3/8米，還剩多少米？（2）一根鐵絲長15米，用去3/8，還剩多少米？這兩題看上去很相似，實際差別很大，學生容易將3/8米和3/8混淆。為了預防此類錯誤，教師應多設計一些對比練習，加深學生的認識，有效培養學生的分析辨別能力。第二種是題意誤解致錯。很多學生只憑經驗和感性認識，不作分析就作答，造成錯誤。第三種是思維局限致錯。這主要表現在學生的思維雜亂無序，造成思考受阻，而無法解題。為克服這一現象，教學中要十分注意學生創新思維能力的培養，啟發學生扎實探索解題途徑和解題方法。

3.急燥好勝型。這一類占練習出錯率的百分之五。小學生表現欲較強，將這一心理帶進數學練習中，看到題目就憑著自信，急急解答，求成心切，不作思考檢查，就交給教師，而導致出錯。對于這些學生只要教師多加引導，表揚適度，學生是可以克服的。

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一、引言

應用題在小學數學教學和學習中，占有十分重要的地位，同時它也是培養和提升學生運用數學知識來分析問題和借鑒問題的重要途徑。因此，在小學數學的教學實踐中，應用題的比重也在不斷增加。題目的新穎度、實用性和知識的應用性都在不斷提升。但是萬變不離其宗，其教學和解題思路還是有著嚴格的規律，在教學中要培養學生分析應用題和解答應用題的能力。應用題的解答不僅需要學生對課本的基礎知識有熟練的把握和應用，還要求學生有著相應的分析、判斷和推理的能力。這些數學思維和能力是需要按照一定的思路和策略進行培養的，本文對這一系列方法進行了總結，按照審題、解題、答題的思路進行了相應的闡述。

二、數學應用題教學思路探究

（一）精準鎖定題目類型

要想進行應用題的解答，首先要確定題目的類型，并根據題目的類型鎖定相應的知識點。在蘇教版小學數學的教材中，應用題的題型非常多，既有圖文結合的，又有對話式的還有表格式的，而且應用題的信息量普遍比較大，有時候在綜合考核中甚至包含幾道應用題。因此，在解題上必須要會審題，要鎖定題目的類型。尤其是對低年級的學生而言，審題就顯得尤為重要了。要從題目的大意中判斷題目的考查點，小學應用題的類型非常多，有行程類的、有工程類的、銷售類的，還有幾何問題的，面積類的、周長類的等等。當然根據知識點分類也可以分為多種類型，單位一的問題、百分數的問題等等。當然，類別非常多，需要的知識點也非常多。尤其是數學廣角問題中所蘊涵的數學應用題的知識點更是非常多，學生必須會根據題目中的語言進行應用題類型的歸納，這是應用題解題的第一步。

（二）有效分析關鍵句

大致分析并確定了題目所歸屬的類型才能更好地展開思考，根據知識點和相關例題去分析題目中的關鍵句，從關鍵句中提煉出有效的數學語言。

例如，媽媽買了3千克桔子和4千克蘋果，共花了23.4元。每千克蘋果的價錢是桔子的1.5倍。每千克蘋果和桔子各多少元？

上面這道題明顯是屬于單價、數量和總價的問題類別，屬于求單價的問題，這道題中的關鍵句就是3千克橘子和4千克蘋果共花了23.4元，其中蘋果的單價是橘子的1.5倍。我們可以根據方程中，是誰的設誰為未知數的原則設橘子的單價為x，那么蘋果的單價就是1.5x，這樣數學語言一下子就明確了，所有的已知條件也被應用了，解題的思路也就明確了。

因此，在解題的時候要根據具體的題型找出題目中的關鍵句，然后根據關鍵句提煉出其中所包含的數學語言，根據數學語言為之后的等量關系的確定做好充分的準備。

（三）迅速確立等量關系

在應用題的解答中，確立等量關系是教學過程中的重中之重，等量關系的確定首先考評的是學生對于知識點的掌握，然后是對題目類型的分析能力和對題目材料的提煉能力。在新課的教授過程中，等量關系的確立相對比較簡單，因此，題目的類型在剛剛學過的課程當中，根據例題能夠比較好地找到相應的題型解答思路，也能找到相應的等量關系。但是，在處理一些綜合題目的時候，找題目的等量關系就相對來說比較難了。根據上文提到的關鍵句找到題目中形成等量關系的關鍵詞，例如，“是”“比”“多”“少”“提前”“共”這樣明顯蘊涵等量關系的字眼，然后根據字眼來確定方程或算式中的等量關系式。數學語言中這些重要的字眼要及時總結，讓學生見到這些字眼形成敏感性，知道這些字眼背后的等量關系。除此之外，還要明確常見的等量關系式，如速度、時間、路程問題，工作總量、工作時間和工作效率問題。在單位一的應用題解答中，如果單位一明確已知，那么一般采用乘法進行解答，如果單位一未知，一般用方程或者除法進行解答。把這些思路結合具體的題目進行教授，讓學生形成明確的解題思路對于應用題的解答會產生事半功倍的作用。

（四）根據需求進行列式計算